Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16956 / 49612
↖ ↑ ↗
← N 40.019201°
W133.428955°		 ← 233.86 m → N 40.019201°
W133.426209°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
N 40.017098°
W133.428955°		 ← 233.86 m →
54 710 m²		 N 40.017098°
W133.426209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129367828369141 y=0.378513336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129367828369141 × 217)
    floor (0.129367828369141 × 131072)
    floor (16956.5)     		tx = 16956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378513336181641 × 217)
    floor (0.378513336181641 × 131072)
    floor (49612.5)     		ty = 49612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16956 / 49612 ti = "17/16956/49612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16956/49612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16956 ÷ 217
    16956 ÷ 131072     		x = 0.129364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49612 ÷ 217
    49612 ÷ 131072     		y = 0.378509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.74127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32877458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378509521484375 × 2 - 1) × π
    0.24298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.763347189549774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32877458} λ = -2.32877458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763347189549774))-π/2
    2×atan(2.14544542797131)-π/2
    2×1.13463157680787-π/2
    2.26926315361574-1.57079632675     		φ = 0.69846683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32877458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.428955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69846683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.019201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16956 KachelY 49612 -2.32877458 0.69846683 -133.428955 40.019201
    Oben rechts KachelX + 1 16957 KachelY 49612 -2.32872665 0.69846683 -133.426209 40.019201
    Unten links KachelX 16956 KachelY + 1 49613 -2.32877458 0.69843011 -133.428955 40.017098
    Unten rechts KachelX + 1 16957 KachelY + 1 49613 -2.32872665 0.69843011 -133.426209 40.017098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69846683-0.69843011) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69846683-0.69843011) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32877458--2.32872665) × cos(0.69846683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765828983206317 × 6371000     		do = 233.85509294486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32877458--2.32872665) × cos(0.69843011) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765852595276608 × 6371000     		du = 233.862303174577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69846683)-sin(0.69843011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765828983206317-0.765852595276608)×R²
    abs(-2.32872665--2.32877458)×2.36120702911125e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36120702911125e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36120702911125e-05×40589641000000     		ar = 54709.6334693171m²