Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16956 / 17082
↖ ↑ ↗
← S  7.645665°
E  6.284180°		 ← 1 210.72 m → S  7.645665°
E  6.295166°		 →
↑
1 210.74 m
↓
↑
1 210.74 m
↓
S  7.656553°
E  6.284180°		 ← 1 210.68 m →
1 465 849 m²		 S  7.656553°
E  6.295166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517471313476562 y=0.521316528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517471313476562 × 215)
    floor (0.517471313476562 × 32768)
    floor (16956.5)     		tx = 16956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521316528320312 × 215)
    floor (0.521316528320312 × 32768)
    floor (17082.5)     		ty = 17082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16956 / 17082 ti = "15/16956/17082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16956/17082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16956 ÷ 215
    16956 ÷ 32768     		x = 0.5174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17082 ÷ 215
    17082 ÷ 32768     		y = 0.52130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    0.034912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10967963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.0426025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.133839823739197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10967963} λ = 0.10967963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133839823739197))-π/2
    2×atan(0.874730164389648)-π/2
    2×0.718677151935094-π/2
    1.43735430387019-1.57079632675     		φ = -0.13344202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10967963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13344202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.645665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16956 KachelY 17082 0.10967963 -0.13344202 6.284180 -7.645665
    Oben rechts KachelX + 1 16957 KachelY 17082 0.10987137 -0.13344202 6.295166 -7.645665
    Unten links KachelX 16956 KachelY + 1 17083 0.10967963 -0.13363206 6.284180 -7.656553
    Unten rechts KachelX + 1 16957 KachelY + 1 17083 0.10987137 -0.13363206 6.295166 -7.656553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13344202--0.13363206) × R
    0.000190040000000002 × 6371000     		dl = 1210.74484000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13344202--0.13363206) × R
    0.000190040000000002 × 6371000     		dr = 1210.74484000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10967963-0.10987137) × cos(-0.13344202) × R
    0.000191739999999996 × 0.991109817524472 × 6371000     		do = 1210.71551054173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10967963-0.10987137) × cos(-0.13363206) × R
    0.000191739999999996 × 0.991084515500377 × 6371000     		du = 1210.68460220798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13344202)-sin(-0.13363206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991109817524472-0.991084515500377)×R²
    abs(0.10987137-0.10967963)×2.53020240947865e-05×R²
    0.000191739999999996×2.53020240947865e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.53020240947865e-05×40589641000000     		ar = 1465848.85045511m²