Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16956 / 15548
↖ ↑ ↗
← N 79.594334°
W133.428955°		 ← 55.15 m → N 79.594334°
W133.426209°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.593838°
W133.428955°		 ← 55.16 m →
3 043 m²		 N 79.593838°
W133.426209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129367828369141 y=0.118625640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129367828369141 × 217)
    floor (0.129367828369141 × 131072)
    floor (16956.5)     		tx = 16956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118625640869141 × 217)
    floor (0.118625640869141 × 131072)
    floor (15548.5)     		ty = 15548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16956 / 15548 ti = "17/16956/15548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16956/15548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16956 ÷ 217
    16956 ÷ 131072     		x = 0.129364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15548 ÷ 217
    15548 ÷ 131072     		y = 0.118621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129364013671875 × 2 - 1) × π
    -0.74127197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32877458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118621826171875 × 2 - 1) × π
    0.76275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39626973820737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32877458} λ = -2.32877458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39626973820737))-π/2
    2×atan(10.9821336446224)-π/2
    2×1.47998975776944-π/2
    2.95997951553887-1.57079632675     		φ = 1.38918319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32877458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.428955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38918319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.594334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16956 KachelY 15548 -2.32877458 1.38918319 -133.428955 79.594334
    Oben rechts KachelX + 1 16957 KachelY 15548 -2.32872665 1.38918319 -133.426209 79.594334
    Unten links KachelX 16956 KachelY + 1 15549 -2.32877458 1.38917453 -133.428955 79.593838
    Unten rechts KachelX + 1 16957 KachelY + 1 15549 -2.32872665 1.38917453 -133.426209 79.593838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38918319-1.38917453) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38918319-1.38917453) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32877458--2.32872665) × cos(1.38918319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18061641426252 × 6371000     		do = 55.1533949105577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32877458--2.32872665) × cos(1.38917453) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180624931830041 × 6371000     		du = 55.1559958522667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38918319)-sin(1.38917453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18061641426252-0.180624931830041)×R²
    abs(-2.32872665--2.32877458)×8.51756752126565e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.51756752126565e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.51756752126565e-06×40589641000000     		ar = 3043.04228668235m²