Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16955 / 49621
↖ ↑ ↗
← N 40.000268°
W133.431702°		 ← 233.97 m → N 40.000268°
W133.428955°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
N 39.998164°
W133.431702°		 ← 233.98 m →
54 736 m²		 N 39.998164°
W133.428955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129360198974609 y=0.378582000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129360198974609 × 217)
    floor (0.129360198974609 × 131072)
    floor (16955.5)     		tx = 16955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378582000732422 × 217)
    floor (0.378582000732422 × 131072)
    floor (49621.5)     		ty = 49621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16955 / 49621 ti = "17/16955/49621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16955/49621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16955 ÷ 217
    16955 ÷ 131072     		x = 0.129356384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49621 ÷ 217
    49621 ÷ 131072     		y = 0.378578186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129356384277344 × 2 - 1) × π
    -0.741287231445312 × 3.1415926535     		Λ = -2.32882252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378578186035156 × 2 - 1) × π
    0.242843627929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.762915757453194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32882252} λ = -2.32882252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762915757453194))-π/2
    2×atan(2.14452001359331)-π/2
    2×1.13446635229046-π/2
    2.26893270458092-1.57079632675     		φ = 0.69813638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32882252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.431702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69813638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.000268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16955 KachelY 49621 -2.32882252 0.69813638 -133.431702 40.000268
    Oben rechts KachelX + 1 16956 KachelY 49621 -2.32877458 0.69813638 -133.428955 40.000268
    Unten links KachelX 16955 KachelY + 1 49622 -2.32882252 0.69809966 -133.431702 39.998164
    Unten rechts KachelX + 1 16956 KachelY + 1 49622 -2.32877458 0.69809966 -133.428955 39.998164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69813638-0.69809966) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69813638-0.69809966) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32882252--2.32877458) × cos(0.69813638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766041435377351 × 6371000     		do = 233.968772270636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32882252--2.32877458) × cos(0.69809966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766065038153546 × 6371000     		du = 233.975981166021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69813638)-sin(0.69809966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766041435377351-0.766065038153546)×R²
    abs(-2.32877458--2.32882252)×2.36027761949531e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36027761949531e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36027761949531e-05×40589641000000     		ar = 54736.227809469m²