Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16954 / 49590
↖ ↑ ↗
← N 40.065461°
W133.434448°		 ← 233.75 m → N 40.065461°
W133.431702°		 →
↑
233.75 m
↓
↑
233.75 m
↓
N 40.063359°
W133.434448°		 ← 233.75 m →
54 639 m²		 N 40.063359°
W133.431702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129352569580078 y=0.378345489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129352569580078 × 217)
    floor (0.129352569580078 × 131072)
    floor (16954.5)     		tx = 16954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378345489501953 × 217)
    floor (0.378345489501953 × 131072)
    floor (49590.5)     		ty = 49590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16954 / 49590 ti = "17/16954/49590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16954/49590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16954 ÷ 217
    16954 ÷ 131072     		x = 0.129348754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49590 ÷ 217
    49590 ÷ 131072     		y = 0.378341674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129348754882812 × 2 - 1) × π
    -0.741302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32887046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378341674804688 × 2 - 1) × π
    0.243316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.764401801341415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32887046} λ = -2.32887046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.764401801341415))-π/2
    2×atan(2.14770923352617)-π/2
    2×1.13503526600428-π/2
    2.27007053200855-1.57079632675     		φ = 0.69927421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32887046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.434448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69927421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.065461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16954 KachelY 49590 -2.32887046 0.69927421 -133.434448 40.065461
    Oben rechts KachelX + 1 16955 KachelY 49590 -2.32882252 0.69927421 -133.431702 40.065461
    Unten links KachelX 16954 KachelY + 1 49591 -2.32887046 0.69923752 -133.434448 40.063359
    Unten rechts KachelX + 1 16955 KachelY + 1 49591 -2.32882252 0.69923752 -133.431702 40.063359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69927421-0.69923752) × R
    3.66900000000614e-05 × 6371000     		dl = 233.751990000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69927421-0.69923752) × R
    3.66900000000614e-05 × 6371000     		dr = 233.751990000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32887046--2.32882252) × cos(0.69927421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765309552550278 × 6371000     		do = 233.745236416584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32887046--2.32882252) × cos(0.69923752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765333168008718 × 6371000     		du = 233.752449185454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69927421)-sin(0.69923752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765309552550278-0.765333168008718)×R²
    abs(-2.32882252--2.32887046)×2.36154584403181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36154584403181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36154584403181e-05×40589641000000     		ar = 54639.2571711161m²