Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16954 / 15547
↖ ↑ ↗
← N 79.594830°
W133.434448°		 ← 55.16 m → N 79.594830°
W133.431702°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.594334°
W133.434448°		 ← 55.16 m →
3 044 m²		 N 79.594334°
W133.431702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129352569580078 y=0.118618011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129352569580078 × 217)
    floor (0.129352569580078 × 131072)
    floor (16954.5)     		tx = 16954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118618011474609 × 217)
    floor (0.118618011474609 × 131072)
    floor (15547.5)     		ty = 15547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16954 / 15547 ti = "17/16954/15547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16954/15547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16954 ÷ 217
    16954 ÷ 131072     		x = 0.129348754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15547 ÷ 217
    15547 ÷ 131072     		y = 0.118614196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129348754882812 × 2 - 1) × π
    -0.741302490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32887046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118614196777344 × 2 - 1) × π
    0.762771606445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.39631767510699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32887046} λ = -2.32887046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39631767510699))-π/2
    2×atan(10.9826601066789)-π/2
    2×1.47999408676287-π/2
    2.95998817352575-1.57079632675     		φ = 1.38919185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32887046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.434448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38919185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.594830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16954 KachelY 15547 -2.32887046 1.38919185 -133.434448 79.594830
    Oben rechts KachelX + 1 16955 KachelY 15547 -2.32882252 1.38919185 -133.431702 79.594830
    Unten links KachelX 16954 KachelY + 1 15548 -2.32887046 1.38918319 -133.434448 79.594334
    Unten rechts KachelX + 1 16955 KachelY + 1 15548 -2.32882252 1.38918319 -133.431702 79.594334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38919185-1.38918319) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38919185-1.38918319) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32887046--2.32882252) × cos(1.38919185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180607896681453 × 6371000     		do = 55.1623004937401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32887046--2.32882252) × cos(1.38918319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18061641426252 × 6371000     		du = 55.1649019822404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38919185)-sin(1.38918319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180607896681453-0.18061641426252)×R²
    abs(-2.32882252--2.32887046)×8.51758106670819e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.51758106670819e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.51758106670819e-06×40589641000000     		ar = 3043.53364821155m²