Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16953 / 49609
↖ ↑ ↗
← N 40.025511°
W133.437195°		 ← 233.83 m → N 40.025511°
W133.434448°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
N 40.023408°
W133.437195°		 ← 233.84 m →
54 690 m²		 N 40.023408°
W133.434448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129344940185547 y=0.378490447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129344940185547 × 217)
    floor (0.129344940185547 × 131072)
    floor (16953.5)     		tx = 16953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378490447998047 × 217)
    floor (0.378490447998047 × 131072)
    floor (49609.5)     		ty = 49609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16953 / 49609 ti = "17/16953/49609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16953/49609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16953 ÷ 217
    16953 ÷ 131072     		x = 0.129341125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49609 ÷ 217
    49609 ÷ 131072     		y = 0.378486633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129341125488281 × 2 - 1) × π
    -0.741317749023438 × 3.1415926535     		Λ = -2.32891839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378486633300781 × 2 - 1) × π
    0.243026733398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.763491000248634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32891839} λ = -2.32891839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763491000248634))-π/2
    2×atan(2.14575398816427)-π/2
    2×1.13468664146241-π/2
    2.26937328292482-1.57079632675     		φ = 0.69857696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32891839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.437195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69857696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.025511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16953 KachelY 49609 -2.32891839 0.69857696 -133.437195 40.025511
    Oben rechts KachelX + 1 16954 KachelY 49609 -2.32887046 0.69857696 -133.434448 40.025511
    Unten links KachelX 16953 KachelY + 1 49610 -2.32891839 0.69854025 -133.437195 40.023408
    Unten rechts KachelX + 1 16954 KachelY + 1 49610 -2.32887046 0.69854025 -133.434448 40.023408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69857696-0.69854025) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69857696-0.69854025) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32891839--2.32887046) × cos(0.69857696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765758160093759 × 6371000     		do = 233.833466255438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32891839--2.32887046) × cos(0.69854025) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765781768829941 × 6371000     		du = 233.840675467045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69857696)-sin(0.69854025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765758160093759-0.765781768829941)×R²
    abs(-2.32887046--2.32891839)×2.36087361825676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36087361825676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36087361825676e-05×40589641000000     		ar = 54689.6761751789m²