Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16952 / 17100
↖ ↑ ↗
← S  7.841615°
E  6.240235°		 ← 1 210.15 m → S  7.841615°
E  6.251221°		 →
↑
1 210.24 m
↓
↑
1 210.24 m
↓
S  7.852499°
E  6.240235°		 ← 1 210.12 m →
1 464 550 m²		 S  7.852499°
E  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517349243164062 y=0.521865844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517349243164062 × 215)
    floor (0.517349243164062 × 32768)
    floor (16952.5)     		tx = 16952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521865844726562 × 215)
    floor (0.521865844726562 × 32768)
    floor (17100.5)     		ty = 17100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16952 / 17100 ti = "15/16952/17100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16952/17100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16952 ÷ 215
    16952 ÷ 32768     		x = 0.517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17100 ÷ 215
    17100 ÷ 32768     		y = 0.5218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517333984375 × 2 - 1) × π
    0.03466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10891264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137291280511841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10891264} λ = 0.10891264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137291280511841))-π/2
    2×atan(0.871716275185608)-π/2
    2×0.716967161571289-π/2
    1.43393432314258-1.57079632675     		φ = -0.13686200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10891264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13686200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.841615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16952 KachelY 17100 0.10891264 -0.13686200 6.240235 -7.841615
    Oben rechts KachelX + 1 16953 KachelY 17100 0.10910438 -0.13686200 6.251221 -7.841615
    Unten links KachelX 16952 KachelY + 1 17101 0.10891264 -0.13705196 6.240235 -7.852499
    Unten rechts KachelX + 1 16953 KachelY + 1 17101 0.10910438 -0.13705196 6.251221 -7.852499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13686200--0.13705196) × R
    0.000189959999999989 × 6371000     		dl = 1210.23515999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13686200--0.13705196) × R
    0.000189959999999989 × 6371000     		dr = 1210.23515999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10891264-0.10910438) × cos(-0.13686200) × R
    0.000191739999999996 × 0.990649006441502 × 6371000     		do = 1210.15259499421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10891264-0.10910438) × cos(-0.13705196) × R
    0.000191739999999996 × 0.990623071349745 × 6371000     		du = 1210.1209133205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13686200)-sin(-0.13705196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990649006441502-0.990623071349745)×R²
    abs(0.10910438-0.10891264)×2.59350917570789e-05×R²
    0.000191739999999996×2.59350917570789e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.59350917570789e-05×40589641000000     		ar = 1464550.05269331m²