Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16951 / 11829
↖ ↑ ↗
← N 44.676465°
E  6.229248°		 ← 868.69 m → N 44.676465°
E  6.240235°		 →
↑
868.69 m
↓
↑
868.69 m
↓
N 44.668653°
E  6.229248°		 ← 868.81 m →
754 673 m²		 N 44.668653°
E  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517318725585938 y=0.361007690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517318725585938 × 215)
    floor (0.517318725585938 × 32768)
    floor (16951.5)     		tx = 16951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361007690429688 × 215)
    floor (0.361007690429688 × 32768)
    floor (11829.5)     		ty = 11829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16951 / 11829 ti = "15/16951/11829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16951/11829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16951 ÷ 215
    16951 ÷ 32768     		x = 0.517303466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11829 ÷ 215
    11829 ÷ 32768     		y = 0.360992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517303466796875 × 2 - 1) × π
    0.03460693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10872089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360992431640625 × 2 - 1) × π
    0.27801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.873410311077423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10872089} λ = 0.10872089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873410311077423))-π/2
    2×atan(2.39506485799201)-π/2
    2×1.1752738752502-π/2
    2.3505477505004-1.57079632675     		φ = 0.77975142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10872089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.229248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77975142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.676465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16951 KachelY 11829 0.10872089 0.77975142 6.229248 44.676465
    Oben rechts KachelX + 1 16952 KachelY 11829 0.10891264 0.77975142 6.240235 44.676465
    Unten links KachelX 16951 KachelY + 1 11830 0.10872089 0.77961507 6.229248 44.668653
    Unten rechts KachelX + 1 16952 KachelY + 1 11830 0.10891264 0.77961507 6.240235 44.668653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77975142-0.77961507) × R
    0.000136350000000007 × 6371000     		dl = 868.685850000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77975142-0.77961507) × R
    0.000136350000000007 × 6371000     		dr = 868.685850000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10872089-0.10891264) × cos(0.77975142) × R
    0.000191750000000004 × 0.711088337244111 × 6371000     		do = 868.693422994663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10872089-0.10891264) × cos(0.77961507) × R
    0.000191750000000004 × 0.711184198684003 × 6371000     		du = 868.810531092197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77975142)-sin(0.77961507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711088337244111-0.711184198684003)×R²
    abs(0.10891264-0.10872089)×9.58614398919311e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58614398919311e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58614398919311e-05×40589641000000     		ar = 754672.550786955m²