Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16950 / 17105
↖ ↑ ↗
← S  7.896029°
E  6.218262°		 ← 1 210.06 m → S  7.896029°
E  6.229248°		 →
↑
1 210.04 m
↓
↑
1 210.04 m
↓
S  7.906912°
E  6.218262°		 ← 1 210.02 m →
1 464 203 m²		 S  7.906912°
E  6.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517288208007812 y=0.522018432617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517288208007812 × 215)
    floor (0.517288208007812 × 32768)
    floor (16950.5)     		tx = 16950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522018432617188 × 215)
    floor (0.522018432617188 × 32768)
    floor (17105.5)     		ty = 17105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16950 / 17105 ti = "15/16950/17105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16950/17105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16950 ÷ 215
    16950 ÷ 32768     		x = 0.51727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17105 ÷ 215
    17105 ÷ 32768     		y = 0.522003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51727294921875 × 2 - 1) × π
    0.0345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10852914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.04400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.138250018504242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10852914} λ = 0.10852914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138250018504242))-π/2
    2×atan(0.870880928177436)-π/2
    2×0.716492306280643-π/2
    1.43298461256129-1.57079632675     		φ = -0.13781171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10852914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13781171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.896029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16950 KachelY 17105 0.10852914 -0.13781171 6.218262 -7.896029
    Oben rechts KachelX + 1 16951 KachelY 17105 0.10872089 -0.13781171 6.229248 -7.896029
    Unten links KachelX 16950 KachelY + 1 17106 0.10852914 -0.13800164 6.218262 -7.906912
    Unten rechts KachelX + 1 16951 KachelY + 1 17106 0.10872089 -0.13800164 6.229248 -7.906912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13781171--0.13800164) × R
    0.000189930000000005 × 6371000     		dl = 1210.04403000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13781171--0.13800164) × R
    0.000189930000000005 × 6371000     		dr = 1210.04403000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10852914-0.10872089) × cos(-0.13781171) × R
    0.000191750000000004 × 0.990518985891562 × 6371000     		do = 1210.05687103536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10852914-0.10872089) × cos(-0.13800164) × R
    0.000191750000000004 × 0.99049287622086 × 6371000     		du = 1210.02497443682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13781171)-sin(-0.13800164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990518985891562-0.99049287622086)×R²
    abs(0.10872089-0.10852914)×2.61096707016018e-05×R²
    0.000191750000000004×2.61096707016018e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.61096707016018e-05×40589641000000     		ar = 1464202.79901413m²