Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16950 / 11943
↖ ↑ ↗
← N 43.779027°
E  6.218262°		 ← 882.04 m → N 43.779027°
E  6.229248°		 →
↑
882.13 m
↓
↑
882.13 m
↓
N 43.771094°
E  6.218262°		 ← 882.16 m →
778 124 m²		 N 43.771094°
E  6.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517288208007812 y=0.364486694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517288208007812 × 215)
    floor (0.517288208007812 × 32768)
    floor (16950.5)     		tx = 16950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364486694335938 × 215)
    floor (0.364486694335938 × 32768)
    floor (11943.5)     		ty = 11943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16950 / 11943 ti = "15/16950/11943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16950/11943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16950 ÷ 215
    16950 ÷ 32768     		x = 0.51727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11943 ÷ 215
    11943 ÷ 32768     		y = 0.364471435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51727294921875 × 2 - 1) × π
    0.0345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10852914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364471435546875 × 2 - 1) × π
    0.27105712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.851551084850678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10852914} λ = 0.10852914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851551084850678))-π/2
    2×atan(2.34327865860597)-π/2
    2×1.16744224232132-π/2
    2.33488448464264-1.57079632675     		φ = 0.76408816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10852914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76408816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.779027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16950 KachelY 11943 0.10852914 0.76408816 6.218262 43.779027
    Oben rechts KachelX + 1 16951 KachelY 11943 0.10872089 0.76408816 6.229248 43.779027
    Unten links KachelX 16950 KachelY + 1 11944 0.10852914 0.76394970 6.218262 43.771094
    Unten rechts KachelX + 1 16951 KachelY + 1 11944 0.10872089 0.76394970 6.229248 43.771094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76408816-0.76394970) × R
    0.000138460000000062 × 6371000     		dl = 882.128660000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76408816-0.76394970) × R
    0.000138460000000062 × 6371000     		dr = 882.128660000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10852914-0.10872089) × cos(0.76408816) × R
    0.000191750000000004 × 0.72201354038842 × 6371000     		do = 882.040079969975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10852914-0.10872089) × cos(0.76394970) × R
    0.000191750000000004 × 0.722109331023211 × 6371000     		du = 882.157101569217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76408816)-sin(0.76394970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72201354038842-0.722109331023211)×R²
    abs(0.10872089-0.10852914)×9.57906347903714e-05×R²
    0.000191750000000004×9.57906347903714e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.57906347903714e-05×40589641000000     		ar = 778124.449106941m²