Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16950 / 11942
↖ ↑ ↗
← N 43.786958°
E  6.218262°		 ← 881.92 m → N 43.786958°
E  6.229248°		 →
↑
881.94 m
↓
↑
881.94 m
↓
N 43.779027°
E  6.218262°		 ← 882.04 m →
777 853 m²		 N 43.779027°
E  6.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517288208007812 y=0.364456176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517288208007812 × 215)
    floor (0.517288208007812 × 32768)
    floor (16950.5)     		tx = 16950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364456176757812 × 215)
    floor (0.364456176757812 × 32768)
    floor (11942.5)     		ty = 11942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16950 / 11942 ti = "15/16950/11942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16950/11942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16950 ÷ 215
    16950 ÷ 32768     		x = 0.51727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11942 ÷ 215
    11942 ÷ 32768     		y = 0.36444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51727294921875 × 2 - 1) × π
    0.0345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10852914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36444091796875 × 2 - 1) × π
    0.2711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.851742832449158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10852914} λ = 0.10852914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851742832449158))-π/2
    2×atan(2.34372801974191)-π/2
    2×1.16751145991094-π/2
    2.33502291982189-1.57079632675     		φ = 0.76422659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10852914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76422659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.786958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16950 KachelY 11942 0.10852914 0.76422659 6.218262 43.786958
    Oben rechts KachelX + 1 16951 KachelY 11942 0.10872089 0.76422659 6.229248 43.786958
    Unten links KachelX 16950 KachelY + 1 11943 0.10852914 0.76408816 6.218262 43.779027
    Unten rechts KachelX + 1 16951 KachelY + 1 11943 0.10872089 0.76408816 6.229248 43.779027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76422659-0.76408816) × R
    0.000138430000000023 × 6371000     		dl = 881.937530000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76422659-0.76408816) × R
    0.000138430000000023 × 6371000     		dr = 881.937530000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10852914-0.10872089) × cos(0.76422659) × R
    0.000191750000000004 × 0.721917756671151 × 6371000     		do = 881.923066821447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10852914-0.10872089) × cos(0.76408816) × R
    0.000191750000000004 × 0.72201354038842 × 6371000     		du = 882.040079969975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76422659)-sin(0.76408816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721917756671151-0.72201354038842)×R²
    abs(0.10872089-0.10852914)×9.5783717269593e-05×R²
    0.000191750000000004×9.5783717269593e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.5783717269593e-05×40589641000000     		ar = 777852.65158837m²