Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1695 / 545
↖ ↑ ↗
← N 82.489082°
W105.512696°		 ← 638.74 m → N 82.489082°
W105.468750°		 →
↑
639.01 m
↓
↑
639.01 m
↓
N 82.483335°
W105.512696°		 ← 639.22 m →
408 316 m²		 N 82.483335°
W105.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.20697021484375 y=0.06658935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.20697021484375 × 213)
    floor (0.20697021484375 × 8192)
    floor (1695.5)     		tx = 1695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06658935546875 × 213)
    floor (0.06658935546875 × 8192)
    floor (545.5)     		ty = 545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1695 / 545 ti = "13/1695/545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1695/545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1695 ÷ 213
    1695 ÷ 8192     		x = 0.2069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 545 ÷ 213
    545 ÷ 8192     		y = 0.0665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.84154394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0665283203125 × 2 - 1) × π
    0.866943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.72358288881311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84154394} λ = -1.84154394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72358288881311))-π/2
    2×atan(15.2348092037745)-π/2
    2×1.50525119776354-π/2
    3.01050239552709-1.57079632675     		φ = 1.43970607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84154394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.512696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43970607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.489082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1695 KachelY 545 -1.84154394 1.43970607 -105.512696 82.489082
    Oben rechts KachelX + 1 1696 KachelY 545 -1.84077695 1.43970607 -105.468750 82.489082
    Unten links KachelX 1695 KachelY + 1 546 -1.84154394 1.43960577 -105.512696 82.483335
    Unten rechts KachelX + 1 1696 KachelY + 1 546 -1.84077695 1.43960577 -105.468750 82.483335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43970607-1.43960577) × R
    0.000100299999999942 × 6371000     		dl = 639.011299999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43970607-1.43960577) × R
    0.000100299999999942 × 6371000     		dr = 639.011299999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84154394--1.84077695) × cos(1.43970607) × R
    0.000766990000000023 × 0.130715122452265 × 6371000     		do = 638.738568764542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84154394--1.84077695) × cos(1.43960577) × R
    0.000766990000000023 × 0.130814561217579 × 6371000     		du = 639.224475624013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43970607)-sin(1.43960577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130715122452265-0.130814561217579)×R²
    abs(-1.84077695--1.84154394)×9.94387653135698e-05×R²
    0.000766990000000023×9.94387653135698e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.94387653135698e-05×40589641000000     		ar = 408316.413515659m²