Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1695 / 543
↖ ↑ ↗
← N 82.500561°
W105.512696°		 ← 637.77 m → N 82.500561°
W105.468750°		 →
↑
637.99 m
↓
↑
637.99 m
↓
N 82.494824°
W105.512696°		 ← 638.25 m →
407 046 m²		 N 82.494824°
W105.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.20697021484375 y=0.06634521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.20697021484375 × 213)
    floor (0.20697021484375 × 8192)
    floor (1695.5)     		tx = 1695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06634521484375 × 213)
    floor (0.06634521484375 × 8192)
    floor (543.5)     		ty = 543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1695 / 543 ti = "13/1695/543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1695/543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1695 ÷ 213
    1695 ÷ 8192     		x = 0.2069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 543 ÷ 213
    543 ÷ 8192     		y = 0.0662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.84154394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0662841796875 × 2 - 1) × π
    0.867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.72511686960095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84154394} λ = -1.84154394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72511686960095))-π/2
    2×atan(15.2581970420607)-π/2
    2×1.50535137880916-π/2
    3.01070275761832-1.57079632675     		φ = 1.43990643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84154394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.512696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43990643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.500561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1695 KachelY 543 -1.84154394 1.43990643 -105.512696 82.500561
    Oben rechts KachelX + 1 1696 KachelY 543 -1.84077695 1.43990643 -105.468750 82.500561
    Unten links KachelX 1695 KachelY + 1 544 -1.84154394 1.43980629 -105.512696 82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 1696 KachelY + 1 544 -1.84077695 1.43980629 -105.468750 82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43990643-1.43980629) × R
    0.000100140000000026 × 6371000     		dl = 637.991940000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43990643-1.43980629) × R
    0.000100140000000026 × 6371000     		dr = 637.991940000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84154394--1.84077695) × cos(1.43990643) × R
    0.000766990000000023 × 0.130516478924698 × 6371000     		do = 637.767898499983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84154394--1.84077695) × cos(1.43980629) × R
    0.000766990000000023 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 638.253043049787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43990643)-sin(1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130516478924698-0.130615761686591)×R²
    abs(-1.84077695--1.84154394)×9.92827618933045e-05×R²
    0.000766990000000023×9.92827618933045e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.92827618933045e-05×40589641000000     		ar = 407045.538329552m²