Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1695 / 461
↖ ↑ ↗
← N 79.981890°
W 31.025391°		 ← 1 700.10 m → N 79.981890°
W 30.937500°		 →
↑
1 701.38 m
↓
↑
1 701.38 m
↓
N 79.966590°
W 31.025391°		 ← 1 702.67 m →
2 894 700 m²		 N 79.966590°
W 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4139404296875 y=0.1126708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4139404296875 × 212)
    floor (0.4139404296875 × 4096)
    floor (1695.5)     		tx = 1695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1126708984375 × 212)
    floor (0.1126708984375 × 4096)
    floor (461.5)     		ty = 461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1695 / 461 ti = "12/1695/461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1695/461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1695 ÷ 212
    1695 ÷ 4096     		x = 0.413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 461 ÷ 212
    461 ÷ 4096     		y = 0.112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413818359375 × 2 - 1) × π
    -0.17236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54149522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112548828125 × 2 - 1) × π
    0.77490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43442751030493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54149522} λ = -0.54149522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43442751030493))-π/2
    2×atan(11.4092851451714)-π/2
    2×1.48337182935185-π/2
    2.9667436587037-1.57079632675     		φ = 1.39594733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54149522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.025391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39594733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.981890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1695 KachelY 461 -0.54149522 1.39594733 -31.025391 79.981890
    Oben rechts KachelX + 1 1696 KachelY 461 -0.53996124 1.39594733 -30.937500 79.981890
    Unten links KachelX 1695 KachelY + 1 462 -0.54149522 1.39568028 -31.025391 79.966590
    Unten rechts KachelX + 1 1696 KachelY + 1 462 -0.53996124 1.39568028 -30.937500 79.966590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39594733-1.39568028) × R
    0.000267049999999935 × 6371000     		dl = 1701.37554999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39594733-1.39568028) × R
    0.000267049999999935 × 6371000     		dr = 1701.37554999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54149522--0.53996124) × cos(1.39594733) × R
    0.00153398000000005 × 0.173959438745632 × 6371000     		do = 1700.10326032544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54149522--0.53996124) × cos(1.39568028) × R
    0.00153398000000005 × 0.174222410779684 × 6371000     		du = 1702.67328248515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39594733)-sin(1.39568028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173959438745632-0.174222410779684)×R²
    abs(-0.53996124--0.54149522)×0.000262972034052178×R²
    0.00153398000000005×0.000262972034052178×6371000²
    0.00153398000000005×0.000262972034052178×40589641000000     		ar = 2894700.423228m²