Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1695 / 401
↖ ↑ ↗
← N 80.858875°
W 31.025391°		 ← 1 552.60 m → N 80.858875°
W 30.937500°		 →
↑
1 553.82 m
↓
↑
1 553.82 m
↓
N 80.844901°
W 31.025391°		 ← 1 554.96 m →
2 414 298 m²		 N 80.844901°
W 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4139404296875 y=0.0980224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4139404296875 × 212)
    floor (0.4139404296875 × 4096)
    floor (1695.5)     		tx = 1695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0980224609375 × 212)
    floor (0.0980224609375 × 4096)
    floor (401.5)     		ty = 401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1695 / 401 ti = "12/1695/401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1695/401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1695 ÷ 212
    1695 ÷ 4096     		x = 0.413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 401 ÷ 212
    401 ÷ 4096     		y = 0.097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413818359375 × 2 - 1) × π
    -0.17236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54149522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097900390625 × 2 - 1) × π
    0.80419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52646635757544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54149522} λ = -0.54149522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52646635757544))-π/2
    2×atan(12.5092248180568)-π/2
    2×1.49102496148657-π/2
    2.98204992297313-1.57079632675     		φ = 1.41125360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54149522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.025391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41125360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.858875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1695 KachelY 401 -0.54149522 1.41125360 -31.025391 80.858875
    Oben rechts KachelX + 1 1696 KachelY 401 -0.53996124 1.41125360 -30.937500 80.858875
    Unten links KachelX 1695 KachelY + 1 402 -0.54149522 1.41100971 -31.025391 80.844901
    Unten rechts KachelX + 1 1696 KachelY + 1 402 -0.53996124 1.41100971 -30.937500 80.844901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41125360-1.41100971) × R
    0.000243889999999913 × 6371000     		dl = 1553.82318999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41125360-1.41100971) × R
    0.000243889999999913 × 6371000     		dr = 1553.82318999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54149522--0.53996124) × cos(1.41125360) × R
    0.00153398000000005 × 0.158866757389322 × 6371000     		do = 1552.60268797401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54149522--0.53996124) × cos(1.41100971) × R
    0.00153398000000005 × 0.159107545266883 × 6371000     		du = 1554.95590467003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41125360)-sin(1.41100971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158866757389322-0.159107545266883)×R²
    abs(-0.53996124--0.54149522)×0.000240787877560517×R²
    0.00153398000000005×0.000240787877560517×6371000²
    0.00153398000000005×0.000240787877560517×40589641000000     		ar = 2414298.31473541m²