Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16949 / 11837
↖ ↑ ↗
← N 44.613934°
E  6.207275°		 ← 869.63 m → N 44.613934°
E  6.218262°		 →
↑
869.71 m
↓
↑
869.71 m
↓
N 44.606113°
E  6.207275°		 ← 869.75 m →
756 373 m²		 N 44.606113°
E  6.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517257690429688 y=0.361251831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517257690429688 × 215)
    floor (0.517257690429688 × 32768)
    floor (16949.5)     		tx = 16949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361251831054688 × 215)
    floor (0.361251831054688 × 32768)
    floor (11837.5)     		ty = 11837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16949 / 11837 ti = "15/16949/11837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16949/11837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16949 ÷ 215
    16949 ÷ 32768     		x = 0.517242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11837 ÷ 215
    11837 ÷ 32768     		y = 0.361236572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517242431640625 × 2 - 1) × π
    0.03448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10833739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361236572265625 × 2 - 1) × π
    0.27752685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.871876330289581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10833739} λ = 0.10833739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871876330289581))-π/2
    2×atan(2.39139369098393)-π/2
    2×1.17472818321246-π/2
    2.34945636642492-1.57079632675     		φ = 0.77866004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10833739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77866004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.613934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16949 KachelY 11837 0.10833739 0.77866004 6.207275 44.613934
    Oben rechts KachelX + 1 16950 KachelY 11837 0.10852914 0.77866004 6.218262 44.613934
    Unten links KachelX 16949 KachelY + 1 11838 0.10833739 0.77852353 6.207275 44.606113
    Unten rechts KachelX + 1 16950 KachelY + 1 11838 0.10852914 0.77852353 6.218262 44.606113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77866004-0.77852353) × R
    0.000136510000000034 × 6371000     		dl = 869.705210000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77866004-0.77852353) × R
    0.000136510000000034 × 6371000     		dr = 869.705210000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10833739-0.10852914) × cos(0.77866004) × R
    0.000191749999999991 × 0.711855265800853 × 6371000     		do = 869.630333021461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10833739-0.10852914) × cos(0.77852353) × R
    0.000191749999999991 × 0.711951133716377 × 6371000     		du = 869.747449029882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77866004)-sin(0.77852353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711855265800853-0.711951133716377)×R²
    abs(0.10852914-0.10833739)×9.58679155244058e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58679155244058e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58679155244058e-05×40589641000000     		ar = 756372.960778885m²