Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16946 / 11937
↖ ↑ ↗
← N 43.826601°
E  6.174316°		 ← 881.34 m → N 43.826601°
E  6.185303°		 →
↑
881.36 m
↓
↑
881.36 m
↓
N 43.818675°
E  6.174316°		 ← 881.45 m →
776 831 m²		 N 43.818675°
E  6.185303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517166137695312 y=0.364303588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517166137695312 × 215)
    floor (0.517166137695312 × 32768)
    floor (16946.5)     		tx = 16946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364303588867188 × 215)
    floor (0.364303588867188 × 32768)
    floor (11937.5)     		ty = 11937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16946 / 11937 ti = "15/16946/11937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16946/11937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16946 ÷ 215
    16946 ÷ 32768     		x = 0.51715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11937 ÷ 215
    11937 ÷ 32768     		y = 0.364288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51715087890625 × 2 - 1) × π
    0.0343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10776215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364288330078125 × 2 - 1) × π
    0.27142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852701570441559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10776215} λ = 0.10776215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852701570441559))-π/2
    2×atan(2.34597611833486)-π/2
    2×1.16785741010374-π/2
    2.33571482020748-1.57079632675     		φ = 0.76491849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10776215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76491849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.826601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16946 KachelY 11937 0.10776215 0.76491849 6.174316 43.826601
    Oben rechts KachelX + 1 16947 KachelY 11937 0.10795390 0.76491849 6.185303 43.826601
    Unten links KachelX 16946 KachelY + 1 11938 0.10776215 0.76478015 6.174316 43.818675
    Unten rechts KachelX + 1 16947 KachelY + 1 11938 0.10795390 0.76478015 6.185303 43.818675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76491849-0.76478015) × R
    0.000138340000000015 × 6371000     		dl = 881.364140000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76491849-0.76478015) × R
    0.000138340000000015 × 6371000     		dr = 881.364140000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10776215-0.10795390) × cos(0.76491849) × R
    0.000191750000000004 × 0.721438803730908 × 6371000     		do = 881.337959110744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10776215-0.10795390) × cos(0.76478015) × R
    0.000191750000000004 × 0.721534594260858 × 6371000     		du = 881.45498058191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76491849)-sin(0.76478015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721438803730908-0.721534594260858)×R²
    abs(0.10795390-0.10776215)×9.57905299506789e-05×R²
    0.000191750000000004×9.57905299506789e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.57905299506789e-05×40589641000000     		ar = 776831.242883628m²