Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 16946 / 10772
↖ ↑ ↗
← N 76.158737°
W 86.912842°		 ← 146.12 m → N 76.158737°
W 86.907349°		 →
↑
146.15 m
↓
↑
146.15 m
↓
N 76.157423°
W 86.912842°		 ← 146.13 m →
21 357 m²		 N 76.157423°
W 86.907349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258583068847656 y=0.164375305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258583068847656 × 216)
    floor (0.258583068847656 × 65536)
    floor (16946.5)     		tx = 16946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164375305175781 × 216)
    floor (0.164375305175781 × 65536)
    floor (10772.5)     		ty = 10772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16946 / 10772 ti = "16/16946/10772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16946/10772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16946 ÷ 216
    16946 ÷ 65536     		x = 0.258575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10772 ÷ 216
    10772 ÷ 65536     		y = 0.16436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.48284912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.51691525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16436767578125 × 2 - 1) × π
    0.6712646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10884008808551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51691525} λ = -1.51691525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10884008808551))-π/2
    2×atan(8.23867959771634)-π/2
    2×1.45000852092599-π/2
    2.90001704185198-1.57079632675     		φ = 1.32922072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51691525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.912842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32922072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.158737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16946 KachelY 10772 -1.51691525 1.32922072 -86.912842 76.158737
    Oben rechts KachelX + 1 16947 KachelY 10772 -1.51681938 1.32922072 -86.907349 76.158737
    Unten links KachelX 16946 KachelY + 1 10773 -1.51691525 1.32919778 -86.912842 76.157423
    Unten rechts KachelX + 1 16947 KachelY + 1 10773 -1.51681938 1.32919778 -86.907349 76.157423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32922072-1.32919778) × R
    2.29399999998048e-05 × 6371000     		dl = 146.150739998756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32922072-1.32919778) × R
    2.29399999998048e-05 × 6371000     		dr = 146.150739998756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51691525--1.51681938) × cos(1.32922072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239232777454527 × 6371000     		do = 146.120454652353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51691525--1.51681938) × cos(1.32919778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239255051265442 × 6371000     		du = 146.134059223652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32922072)-sin(1.32919778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239232777454527-0.239255051265442)×R²
    abs(-1.51681938--1.51691525)×2.22738109150744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22738109150744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22738109150744e-05×40589641000000     		ar = 21356.6067363342m²