Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16944 / 49618
↖ ↑ ↗
← N 40.006580°
W133.461914°		 ← 233.95 m → N 40.006580°
W133.459168°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
N 40.004476°
W133.461914°		 ← 233.95 m →
54 731 m²		 N 40.004476°
W133.459168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129276275634766 y=0.378559112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129276275634766 × 217)
    floor (0.129276275634766 × 131072)
    floor (16944.5)     		tx = 16944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378559112548828 × 217)
    floor (0.378559112548828 × 131072)
    floor (49618.5)     		ty = 49618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16944 / 49618 ti = "17/16944/49618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16944/49618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16944 ÷ 217
    16944 ÷ 131072     		x = 0.1292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49618 ÷ 217
    49618 ÷ 131072     		y = 0.378555297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378555297851562 × 2 - 1) × π
    0.242889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.763059568152054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32934983} λ = -2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763059568152054))-π/2
    2×atan(2.14482844069221)-π/2
    2×1.1345214322217-π/2
    2.26904286444339-1.57079632675     		φ = 0.69824654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69824654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.006580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16944 KachelY 49618 -2.32934983 0.69824654 -133.461914 40.006580
    Oben rechts KachelX + 1 16945 KachelY 49618 -2.32930189 0.69824654 -133.459168 40.006580
    Unten links KachelX 16944 KachelY + 1 49619 -2.32934983 0.69820982 -133.461914 40.004476
    Unten rechts KachelX + 1 16945 KachelY + 1 49619 -2.32930189 0.69820982 -133.459168 40.004476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69824654-0.69820982) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69824654-0.69820982) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32934983--2.32930189) × cos(0.69824654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765970620851503 × 6371000     		do = 233.947143691676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32934983--2.32930189) × cos(0.69820982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765994226726297 × 6371000     		du = 233.954353533454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69824654)-sin(0.69820982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765970620851503-0.765994226726297)×R²
    abs(-2.32930189--2.32934983)×2.36058747945522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36058747945522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36058747945522e-05×40589641000000     		ar = 54731.1680627908m²