Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16944 / 11827
↖ ↑ ↗
← N 44.692088°
E  6.152344°		 ← 868.41 m → N 44.692088°
E  6.163330°		 →
↑
868.56 m
↓
↑
868.56 m
↓
N 44.684277°
E  6.152344°		 ← 868.53 m →
754 319 m²		 N 44.684277°
E  6.163330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517105102539062 y=0.360946655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517105102539062 × 215)
    floor (0.517105102539062 × 32768)
    floor (16944.5)     		tx = 16944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360946655273438 × 215)
    floor (0.360946655273438 × 32768)
    floor (11827.5)     		ty = 11827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16944 / 11827 ti = "15/16944/11827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16944/11827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16944 ÷ 215
    16944 ÷ 32768     		x = 0.51708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11827 ÷ 215
    11827 ÷ 32768     		y = 0.360931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360931396484375 × 2 - 1) × π
    0.27813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.873793806274384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10737866} λ = 0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.873793806274384))-π/2
    2×atan(2.39598353000336)-π/2
    2×1.17541020634824-π/2
    2.35082041269648-1.57079632675     		φ = 0.78002409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78002409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.692088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16944 KachelY 11827 0.10737866 0.78002409 6.152344 44.692088
    Oben rechts KachelX + 1 16945 KachelY 11827 0.10757040 0.78002409 6.163330 44.692088
    Unten links KachelX 16944 KachelY + 1 11828 0.10737866 0.77988776 6.152344 44.684277
    Unten rechts KachelX + 1 16945 KachelY + 1 11828 0.10757040 0.77988776 6.163330 44.684277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78002409-0.77988776) × R
    0.000136329999999907 × 6371000     		dl = 868.558429999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78002409-0.77988776) × R
    0.000136329999999907 × 6371000     		dr = 868.558429999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10737866-0.10757040) × cos(0.78002409) × R
    0.000191739999999996 × 0.710896595804789 × 6371000     		do = 868.413892904378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10737866-0.10757040) × cos(0.77988776) × R
    0.000191739999999996 × 0.710992469616143 × 6371000     		du = 868.531010007255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78002409)-sin(0.77988776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710896595804789-0.710992469616143)×R²
    abs(0.10757040-0.10737866)×9.58738113542301e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58738113542301e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58738113542301e-05×40589641000000     		ar = 754319.070102381m²