Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16943 / 50840
↖ ↑ ↗
← S 69.945375°
W 86.929321°		 ← 209.45 m → S 69.945375°
W 86.923828°		 →
↑
209.48 m
↓
↑
209.48 m
↓
S 69.947259°
W 86.929321°		 ← 209.43 m →
43 873 m²		 S 69.947259°
W 86.923828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.258537292480469 y=0.775764465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.258537292480469 × 216)
    floor (0.258537292480469 × 65536)
    floor (16943.5)     		tx = 16943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775764465332031 × 216)
    floor (0.775764465332031 × 65536)
    floor (50840.5)     		ty = 50840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16943 / 50840 ti = "16/16943/50840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16943/50840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16943 ÷ 216
    16943 ÷ 65536     		x = 0.258529663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50840 ÷ 216
    50840 ÷ 65536     		y = 0.7757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.258529663085938 × 2 - 1) × π
    -0.482940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.51720287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73263129986731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.51720287} λ = -1.51720287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73263129986731))-π/2
    2×atan(0.176818534722986)-π/2
    2×0.175009616939629-π/2
    0.350019233879258-1.57079632675     		φ = -1.22077709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.51720287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.929321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22077709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.945375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16943 KachelY 50840 -1.51720287 -1.22077709 -86.929321 -69.945375
    Oben rechts KachelX + 1 16944 KachelY 50840 -1.51710700 -1.22077709 -86.923828 -69.945375
    Unten links KachelX 16943 KachelY + 1 50841 -1.51720287 -1.22080997 -86.929321 -69.947259
    Unten rechts KachelX + 1 16944 KachelY + 1 50841 -1.51710700 -1.22080997 -86.923828 -69.947259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22077709--1.22080997) × R
    3.28800000000129e-05 × 6371000     		dl = 209.478480000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22077709--1.22080997) × R
    3.28800000000129e-05 × 6371000     		dr = 209.478480000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.51720287--1.51710700) × cos(-1.22077709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342915877912213 × 6371000     		do = 209.448824367589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.51720287--1.51710700) × cos(-1.22080997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342884991368949 × 6371000     		du = 209.429959244705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22077709)-sin(-1.22080997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342915877912213-0.342884991368949)×R²
    abs(-1.51710700--1.51720287)×3.08865432644967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08865432644967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08865432644967e-05×40589641000000     		ar = 43873.0454517096m²