Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16943 / 11933
↖ ↑ ↗
← N 43.858297°
E  6.141358°		 ← 880.87 m → N 43.858297°
E  6.152344°		 →
↑
880.92 m
↓
↑
880.92 m
↓
N 43.850374°
E  6.141358°		 ← 880.99 m →
776 026 m²		 N 43.850374°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517074584960938 y=0.364181518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517074584960938 × 215)
    floor (0.517074584960938 × 32768)
    floor (16943.5)     		tx = 16943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364181518554688 × 215)
    floor (0.364181518554688 × 32768)
    floor (11933.5)     		ty = 11933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16943 / 11933 ti = "15/16943/11933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16943/11933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16943 ÷ 215
    16943 ÷ 32768     		x = 0.517059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11933 ÷ 215
    11933 ÷ 32768     		y = 0.364166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517059326171875 × 2 - 1) × π
    0.03411865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10718691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364166259765625 × 2 - 1) × π
    0.27166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.85346856083548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10718691} λ = 0.10718691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.85346856083548))-π/2
    2×atan(2.34777614969713)-π/2
    2×1.16813400494525-π/2
    2.33626800989051-1.57079632675     		φ = 0.76547168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10718691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.141358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76547168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.858297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16943 KachelY 11933 0.10718691 0.76547168 6.141358 43.858297
    Oben rechts KachelX + 1 16944 KachelY 11933 0.10737866 0.76547168 6.152344 43.858297
    Unten links KachelX 16943 KachelY + 1 11934 0.10718691 0.76533341 6.141358 43.850374
    Unten rechts KachelX + 1 16944 KachelY + 1 11934 0.10737866 0.76533341 6.152344 43.850374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76547168-0.76533341) × R
    0.000138269999999996 × 6371000     		dl = 880.918169999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76547168-0.76533341) × R
    0.000138269999999996 × 6371000     		dr = 880.918169999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10718691-0.10737866) × cos(0.76547168) × R
    0.000191750000000004 × 0.721055621349935 × 6371000     		do = 880.869848474239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10718691-0.10737866) × cos(0.76533341) × R
    0.000191750000000004 × 0.721151418584958 × 6371000     		du = 880.986878136585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76547168)-sin(0.76533341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721055621349935-0.721151418584958)×R²
    abs(0.10737866-0.10718691)×9.57972350233982e-05×R²
    0.000191750000000004×9.57972350233982e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.57972350233982e-05×40589641000000     		ar = 776025.802940405m²