Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16943 / 11833
↖ ↑ ↗
← N 44.645208°
E  6.141358°		 ← 869.16 m → N 44.645208°
E  6.152344°		 →
↑
869.20 m
↓
↑
869.20 m
↓
N 44.637391°
E  6.141358°		 ← 869.28 m →
755 523 m²		 N 44.637391°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517074584960938 y=0.361129760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517074584960938 × 215)
    floor (0.517074584960938 × 32768)
    floor (16943.5)     		tx = 16943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361129760742188 × 215)
    floor (0.361129760742188 × 32768)
    floor (11833.5)     		ty = 11833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16943 / 11833 ti = "15/16943/11833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16943/11833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16943 ÷ 215
    16943 ÷ 32768     		x = 0.517059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11833 ÷ 215
    11833 ÷ 32768     		y = 0.361114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517059326171875 × 2 - 1) × π
    0.03411865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10718691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361114501953125 × 2 - 1) × π
    0.27777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.872643320683502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10718691} λ = 0.10718691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.872643320683502))-π/2
    2×atan(2.39322857055055)-π/2
    2×1.17500110275997-π/2
    2.35000220551993-1.57079632675     		φ = 0.77920588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10718691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.141358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77920588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.645208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16943 KachelY 11833 0.10718691 0.77920588 6.141358 44.645208
    Oben rechts KachelX + 1 16944 KachelY 11833 0.10737866 0.77920588 6.152344 44.645208
    Unten links KachelX 16943 KachelY + 1 11834 0.10718691 0.77906945 6.141358 44.637391
    Unten rechts KachelX + 1 16944 KachelY + 1 11834 0.10737866 0.77906945 6.152344 44.637391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77920588-0.77906945) × R
    0.000136429999999965 × 6371000     		dl = 869.195529999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77920588-0.77906945) × R
    0.000136429999999965 × 6371000     		dr = 869.195529999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10718691-0.10737866) × cos(0.77920588) × R
    0.000191750000000004 × 0.71147180204548 × 6371000     		do = 869.161878647009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10718691-0.10737866) × cos(0.77906945) × R
    0.000191750000000004 × 0.711567666783088 × 6371000     		du = 869.278990773162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77920588)-sin(0.77906945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71147180204548-0.711567666783088)×R²
    abs(0.10737866-0.10718691)×9.58647376081423e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58647376081423e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58647376081423e-05×40589641000000     		ar = 755522.517606334m²