Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16943 / 11247
↖ ↑ ↗
← N 49.045070°
E  6.141358°		 ← 800.74 m → N 49.045070°
E  6.152344°		 →
↑
800.83 m
↓
↑
800.83 m
↓
N 49.037868°
E  6.141358°		 ← 800.86 m →
641 308 m²		 N 49.037868°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517074584960938 y=0.343246459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517074584960938 × 215)
    floor (0.517074584960938 × 32768)
    floor (16943.5)     		tx = 16943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343246459960938 × 215)
    floor (0.343246459960938 × 32768)
    floor (11247.5)     		ty = 11247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16943 / 11247 ti = "15/16943/11247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16943/11247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16943 ÷ 215
    16943 ÷ 32768     		x = 0.517059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11247 ÷ 215
    11247 ÷ 32768     		y = 0.343231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517059326171875 × 2 - 1) × π
    0.03411865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10718691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343231201171875 × 2 - 1) × π
    0.31353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.985007413392914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10718691} λ = 0.10718691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985007413392914))-π/2
    2×atan(2.67783173616628)-π/2
    2×1.2133971367758-π/2
    2.4267942735516-1.57079632675     		φ = 0.85599795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10718691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.141358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85599795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.045070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16943 KachelY 11247 0.10718691 0.85599795 6.141358 49.045070
    Oben rechts KachelX + 1 16944 KachelY 11247 0.10737866 0.85599795 6.152344 49.045070
    Unten links KachelX 16943 KachelY + 1 11248 0.10718691 0.85587225 6.141358 49.037868
    Unten rechts KachelX + 1 16944 KachelY + 1 11248 0.10737866 0.85587225 6.152344 49.037868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85599795-0.85587225) × R
    0.000125700000000006 × 6371000     		dl = 800.834700000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85599795-0.85587225) × R
    0.000125700000000006 × 6371000     		dr = 800.834700000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10718691-0.10737866) × cos(0.85599795) × R
    0.000191750000000004 × 0.655465159052675 × 6371000     		do = 800.741965306259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10718691-0.10737866) × cos(0.85587225) × R
    0.000191750000000004 × 0.655560085708572 × 6371000     		du = 800.857931434974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85599795)-sin(0.85587225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655465159052675-0.655560085708572)×R²
    abs(0.10737866-0.10718691)×9.49266558974982e-05×R²
    0.000191750000000004×9.49266558974982e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.49266558974982e-05×40589641000000     		ar = 641308.387258349m²