Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16943 / 11244
↖ ↑ ↗
← N 49.066669°
E  6.141358°		 ← 800.39 m → N 49.066669°
E  6.152344°		 →
↑
800.45 m
↓
↑
800.45 m
↓
N 49.059470°
E  6.141358°		 ← 800.51 m →
640 724 m²		 N 49.059470°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517074584960938 y=0.343154907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517074584960938 × 215)
    floor (0.517074584960938 × 32768)
    floor (16943.5)     		tx = 16943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343154907226562 × 215)
    floor (0.343154907226562 × 32768)
    floor (11244.5)     		ty = 11244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16943 / 11244 ti = "15/16943/11244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16943/11244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16943 ÷ 215
    16943 ÷ 32768     		x = 0.517059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11244 ÷ 215
    11244 ÷ 32768     		y = 0.3431396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517059326171875 × 2 - 1) × π
    0.03411865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10718691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3431396484375 × 2 - 1) × π
    0.313720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.985582656188355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10718691} λ = 0.10718691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985582656188355))-π/2
    2×atan(2.67937258271786)-π/2
    2×1.21358562163179-π/2
    2.42717124326358-1.57079632675     		φ = 0.85637492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10718691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.141358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85637492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.066669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16943 KachelY 11244 0.10718691 0.85637492 6.141358 49.066669
    Oben rechts KachelX + 1 16944 KachelY 11244 0.10737866 0.85637492 6.152344 49.066669
    Unten links KachelX 16943 KachelY + 1 11245 0.10718691 0.85624928 6.141358 49.059470
    Unten rechts KachelX + 1 16944 KachelY + 1 11245 0.10737866 0.85624928 6.152344 49.059470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85637492-0.85624928) × R
    0.000125640000000038 × 6371000     		dl = 800.452440000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85637492-0.85624928) × R
    0.000125640000000038 × 6371000     		dr = 800.452440000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10718691-0.10737866) × cos(0.85637492) × R
    0.000191750000000004 × 0.655180415162382 × 6371000     		do = 800.39411099368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10718691-0.10737866) × cos(0.85624928) × R
    0.000191750000000004 × 0.655275327549678 × 6371000     		du = 800.510059691311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85637492)-sin(0.85624928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655180415162382-0.655275327549678)×R²
    abs(0.10737866-0.10718691)×9.49123872957536e-05×R²
    0.000191750000000004×9.49123872957536e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.49123872957536e-05×40589641000000     		ar = 640723.82565801m²