Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16942 / 49619
↖ ↑ ↗
← N 40.004476°
W133.467407°		 ← 233.95 m → N 40.004476°
W133.464660°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
N 40.002372°
W133.467407°		 ← 233.96 m →
54 733 m²		 N 40.002372°
W133.464660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129261016845703 y=0.378566741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129261016845703 × 217)
    floor (0.129261016845703 × 131072)
    floor (16942.5)     		tx = 16942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378566741943359 × 217)
    floor (0.378566741943359 × 131072)
    floor (49619.5)     		ty = 49619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16942 / 49619 ti = "17/16942/49619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16942/49619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16942 ÷ 217
    16942 ÷ 131072     		x = 0.129257202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49619 ÷ 217
    49619 ÷ 131072     		y = 0.378562927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129257202148438 × 2 - 1) × π
    -0.741485595703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32944570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378562927246094 × 2 - 1) × π
    0.242874145507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.763011631252434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32944570} λ = -2.32944570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763011631252434))-π/2
    2×atan(2.14472562673086)-π/2
    2×1.13450307281039-π/2
    2.26900614562078-1.57079632675     		φ = 0.69820982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32944570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.467407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69820982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.004476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16942 KachelY 49619 -2.32944570 0.69820982 -133.467407 40.004476
    Oben rechts KachelX + 1 16943 KachelY 49619 -2.32939776 0.69820982 -133.464660 40.004476
    Unten links KachelX 16942 KachelY + 1 49620 -2.32944570 0.69817310 -133.467407 40.002372
    Unten rechts KachelX + 1 16943 KachelY + 1 49620 -2.32939776 0.69817310 -133.464660 40.002372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69820982-0.69817310) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69820982-0.69817310) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32944570--2.32939776) × cos(0.69820982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765994226726297 × 6371000     		do = 233.954353533454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32944570--2.32939776) × cos(0.69817310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766017831568257 × 6371000     		du = 233.961563059777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69820982)-sin(0.69817310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765994226726297-0.766017831568257)×R²
    abs(-2.32939776--2.32944570)×2.36048419599566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36048419599566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36048419599566e-05×40589641000000     		ar = 54732.8547189728m²