Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16942 / 17402
↖ ↑ ↗
← S 11.113727°
E  6.130371°		 ← 1 198.73 m → S 11.113727°
E  6.141358°		 →
↑
1 198.70 m
↓
↑
1 198.70 m
↓
S 11.124507°
E  6.130371°		 ← 1 198.68 m →
1 436 895 m²		 S 11.124507°
E  6.141358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517044067382812 y=0.531082153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517044067382812 × 215)
    floor (0.517044067382812 × 32768)
    floor (16942.5)     		tx = 16942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531082153320312 × 215)
    floor (0.531082153320312 × 32768)
    floor (17402.5)     		ty = 17402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16942 / 17402 ti = "15/16942/17402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16942/17402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16942 ÷ 215
    16942 ÷ 32768     		x = 0.51702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17402 ÷ 215
    17402 ÷ 32768     		y = 0.53106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51702880859375 × 2 - 1) × π
    0.0340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10699516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53106689453125 × 2 - 1) × π
    -0.0621337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.195199055252869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10699516} λ = 0.10699516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195199055252869))-π/2
    2×atan(0.822670884795595)-π/2
    2×0.688412596778868-π/2
    1.37682519355774-1.57079632675     		φ = -0.19397113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10699516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19397113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.113727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16942 KachelY 17402 0.10699516 -0.19397113 6.130371 -11.113727
    Oben rechts KachelX + 1 16943 KachelY 17402 0.10718691 -0.19397113 6.141358 -11.113727
    Unten links KachelX 16942 KachelY + 1 17403 0.10699516 -0.19415928 6.130371 -11.124507
    Unten rechts KachelX + 1 16943 KachelY + 1 17403 0.10718691 -0.19415928 6.141358 -11.124507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19397113--0.19415928) × R
    0.000188149999999998 × 6371000     		dl = 1198.70364999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19397113--0.19415928) × R
    0.000188149999999998 × 6371000     		dr = 1198.70364999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10699516-0.10718691) × cos(-0.19397113) × R
    0.000191749999999991 × 0.981246510833756 × 6371000     		do = 1198.72925156001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10699516-0.10718691) × cos(-0.19415928) × R
    0.000191749999999991 × 0.981210226224471 × 6371000     		du = 1198.68492485713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19397113)-sin(-0.19415928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981246510833756-0.981210226224471)×R²
    abs(0.10718691-0.10699516)×3.62846092842872e-05×R²
    0.000191749999999991×3.62846092842872e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.62846092842872e-05×40589641000000     		ar = 1436894.56615552m²