Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16940 / 11229
↖ ↑ ↗
← N 49.174522°
E  6.108398°		 ← 798.66 m → N 49.174522°
E  6.119385°		 →
↑
798.73 m
↓
↑
798.73 m
↓
N 49.167338°
E  6.108398°		 ← 798.77 m →
637 958 m²		 N 49.167338°
E  6.119385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516983032226562 y=0.342697143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516983032226562 × 215)
    floor (0.516983032226562 × 32768)
    floor (16940.5)     		tx = 16940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342697143554688 × 215)
    floor (0.342697143554688 × 32768)
    floor (11229.5)     		ty = 11229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16940 / 11229 ti = "15/16940/11229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16940/11229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16940 ÷ 215
    16940 ÷ 32768     		x = 0.5169677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11229 ÷ 215
    11229 ÷ 32768     		y = 0.342681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5169677734375 × 2 - 1) × π
    0.033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10661166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342681884765625 × 2 - 1) × π
    0.31463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.988458870165558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10661166} λ = 0.10661166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988458870165558))-π/2
    2×atan(2.68709012492144)-π/2
    2×1.21452681767976-π/2
    2.42905363535951-1.57079632675     		φ = 0.85825731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10661166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.108398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85825731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.174522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16940 KachelY 11229 0.10661166 0.85825731 6.108398 49.174522
    Oben rechts KachelX + 1 16941 KachelY 11229 0.10680341 0.85825731 6.119385 49.174522
    Unten links KachelX 16940 KachelY + 1 11230 0.10661166 0.85813194 6.108398 49.167338
    Unten rechts KachelX + 1 16941 KachelY + 1 11230 0.10680341 0.85813194 6.119385 49.167338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85825731-0.85813194) × R
    0.000125370000000014 × 6371000     		dl = 798.732270000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85825731-0.85813194) × R
    0.000125370000000014 × 6371000     		dr = 798.732270000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10661166-0.10680341) × cos(0.85825731) × R
    0.000191750000000004 × 0.653757161435756 × 6371000     		do = 798.655408378525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10661166-0.10680341) × cos(0.85813194) × R
    0.000191750000000004 × 0.653852024330439 × 6371000     		du = 798.771296614038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85825731)-sin(0.85813194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653757161435756-0.653852024330439)×R²
    abs(0.10680341-0.10661166)×9.48628946827457e-05×R²
    0.000191750000000004×9.48628946827457e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.48628946827457e-05×40589641000000     		ar = 637958.129954406m²