Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1694 / 459
↖ ↑ ↗
← N 80.012423°
W 31.113281°		 ← 1 694.97 m → N 80.012423°
W 31.025391°		 →
↑
1 696.28 m
↓
↑
1 696.28 m
↓
N 79.997168°
W 31.113281°		 ← 1 697.54 m →
2 877 322 m²		 N 79.997168°
W 31.025391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4136962890625 y=0.1121826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4136962890625 × 212)
    floor (0.4136962890625 × 4096)
    floor (1694.5)     		tx = 1694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1121826171875 × 212)
    floor (0.1121826171875 × 4096)
    floor (459.5)     		ty = 459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1694 / 459 ti = "12/1694/459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1694/459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1694 ÷ 212
    1694 ÷ 4096     		x = 0.41357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 459 ÷ 212
    459 ÷ 4096     		y = 0.112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54302920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112060546875 × 2 - 1) × π
    0.77587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43749547188062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54302920} λ = -0.54302920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43749547188062))-π/2
    2×atan(11.4443421428663)-π/2
    2×1.48363827707678-π/2
    2.96727655415357-1.57079632675     		φ = 1.39648023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54302920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.113281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39648023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.012423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1694 KachelY 459 -0.54302920 1.39648023 -31.113281 80.012423
    Oben rechts KachelX + 1 1695 KachelY 459 -0.54149522 1.39648023 -31.025391 80.012423
    Unten links KachelX 1694 KachelY + 1 460 -0.54302920 1.39621398 -31.113281 79.997168
    Unten rechts KachelX + 1 1695 KachelY + 1 460 -0.54149522 1.39621398 -31.025391 79.997168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39648023-1.39621398) × R
    0.000266250000000134 × 6371000     		dl = 1696.27875000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39648023-1.39621398) × R
    0.000266250000000134 × 6371000     		dr = 1696.27875000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54302920--0.54149522) × cos(1.39648023) × R
    0.00153397999999993 × 0.173434639292747 × 6371000     		do = 1694.97440231508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54302920--0.54149522) × cos(1.39621398) × R
    0.00153397999999993 × 0.173696848225222 × 6371000     		du = 1697.53696669332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39648023)-sin(1.39621398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173434639292747-0.173696848225222)×R²
    abs(-0.54149522--0.54302920)×0.000262208932475333×R²
    0.00153397999999993×0.000262208932475333×6371000²
    0.00153397999999993×0.000262208932475333×40589641000000     		ar = 2877322.48919333m²