Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1694 / 404
↖ ↑ ↗
← N 80.816891°
W 31.113281°		 ← 1 559.67 m → N 80.816891°
W 31.025391°		 →
↑
1 560.90 m
↓
↑
1 560.90 m
↓
N 80.802854°
W 31.113281°		 ← 1 562.04 m →
2 436 330 m²		 N 80.802854°
W 31.025391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4136962890625 y=0.0987548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4136962890625 × 212)
    floor (0.4136962890625 × 4096)
    floor (1694.5)     		tx = 1694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0987548828125 × 212)
    floor (0.0987548828125 × 4096)
    floor (404.5)     		ty = 404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1694 / 404 ti = "12/1694/404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1694/404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1694 ÷ 212
    1694 ÷ 4096     		x = 0.41357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 404 ÷ 212
    404 ÷ 4096     		y = 0.0986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54302920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986328125 × 2 - 1) × π
    0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54302920} λ = -0.54302920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52186441521191))-π/2
    2×atan(12.4517903428656)-π/2
    2×1.49065858198811-π/2
    2.98131716397622-1.57079632675     		φ = 1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54302920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.113281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1694 KachelY 404 -0.54302920 1.41052084 -31.113281 80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 1695 KachelY 404 -0.54149522 1.41052084 -31.025391 80.816891
    Unten links KachelX 1694 KachelY + 1 405 -0.54302920 1.41027584 -31.113281 80.802854
    Unten rechts KachelX + 1 1695 KachelY + 1 405 -0.54149522 1.41027584 -31.025391 80.802854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41052084-1.41027584) × R
    0.000245000000000051 × 6371000     		dl = 1560.89500000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41052084-1.41027584) × R
    0.000245000000000051 × 6371000     		dr = 1560.89500000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54302920--0.54149522) × cos(1.41052084) × R
    0.00153397999999993 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 1559.67257647108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54302920--0.54149522) × cos(1.41027584) × R
    0.00153397999999993 × 0.159832023775436 × 6371000     		du = 1562.03622341151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41052084)-sin(1.41027584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.159832023775436)×R²
    abs(-0.54149522--0.54302920)×0.000241855130064333×R²
    0.00153397999999993×0.000241855130064333×6371000²
    0.00153397999999993×0.000241855130064333×40589641000000     		ar = 2436329.84078164m²