Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1694 / 1565
↖ ↑ ↗
← S 68.463800°
E117.773438°		 ← 7 175.11 m → S 68.463800°
E117.949219°		 →
↑
7 164.89 m
↓
↑
7 164.89 m
↓
S 68.528235°
E117.773438°		 ← 7 154.66 m →
51 335 629 m²		 S 68.528235°
E117.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827392578125 y=0.764404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827392578125 × 211)
    floor (0.827392578125 × 2048)
    floor (1694.5)     		tx = 1694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764404296875 × 211)
    floor (0.764404296875 × 2048)
    floor (1565.5)     		ty = 1565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1694 / 1565 ti = "11/1694/1565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1694/1565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1694 ÷ 211
    1694 ÷ 2048     		x = 0.8271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1565 ÷ 211
    1565 ÷ 2048     		y = 0.76416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8271484375 × 2 - 1) × π
    0.654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05553426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65976721244482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05553426} λ = 2.05553426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65976721244482))-π/2
    2×atan(0.190183247242062)-π/2
    2×0.187938803074293-π/2
    0.375877606148586-1.57079632675     		φ = -1.19491872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05553426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19491872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.463800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1694 KachelY 1565 2.05553426 -1.19491872 117.773438 -68.463800
    Oben rechts KachelX + 1 1695 KachelY 1565 2.05860222 -1.19491872 117.949219 -68.463800
    Unten links KachelX 1694 KachelY + 1 1566 2.05553426 -1.19604333 117.773438 -68.528235
    Unten rechts KachelX + 1 1695 KachelY + 1 1566 2.05860222 -1.19604333 117.949219 -68.528235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19491872--1.19604333) × R
    0.00112460999999997 × 6371000     		dl = 7164.89030999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19491872--1.19604333) × R
    0.00112460999999997 × 6371000     		dr = 7164.89030999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05553426-2.05860222) × cos(-1.19491872) × R
    0.00306796000000009 × 0.367089007742529 × 6371000     		do = 7175.11189266673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05553426-2.05860222) × cos(-1.19604333) × R
    0.00306796000000009 × 0.366042679550149 × 6371000     		du = 7154.66038990191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19491872)-sin(-1.19604333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367089007742529-0.366042679550149)×R²
    abs(2.05860222-2.05553426)×0.00104632819238037×R²
    0.00306796000000009×0.00104632819238037×6371000²
    0.00306796000000009×0.00104632819238037×40589641000000     		ar = 51335628.6964883m²