Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16939 / 49925
↖ ↑ ↗
← N 39.357662°
W133.475647°		 ← 236.16 m → N 39.357662°
W133.472900°		 →
↑
236.11 m
↓
↑
236.11 m
↓
N 39.355538°
W133.475647°		 ← 236.16 m →
55 759 m²		 N 39.355538°
W133.472900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129238128662109 y=0.380901336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129238128662109 × 217)
    floor (0.129238128662109 × 131072)
    floor (16939.5)     		tx = 16939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380901336669922 × 217)
    floor (0.380901336669922 × 131072)
    floor (49925.5)     		ty = 49925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16939 / 49925 ti = "17/16939/49925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16939/49925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16939 ÷ 217
    16939 ÷ 131072     		x = 0.129234313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49925 ÷ 217
    49925 ÷ 131072     		y = 0.380897521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129234313964844 × 2 - 1) × π
    -0.741531372070312 × 3.1415926535     		Λ = -2.32958951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380897521972656 × 2 - 1) × π
    0.238204956054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.748342939968697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32958951} λ = -2.32958951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748342939968697))-π/2
    2×atan(2.11349492537421)-π/2
    2×1.12885855411643-π/2
    2.25771710823286-1.57079632675     		φ = 0.68692078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32958951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.475647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68692078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.357662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16939 KachelY 49925 -2.32958951 0.68692078 -133.475647 39.357662
    Oben rechts KachelX + 1 16940 KachelY 49925 -2.32954157 0.68692078 -133.472900 39.357662
    Unten links KachelX 16939 KachelY + 1 49926 -2.32958951 0.68688372 -133.475647 39.355538
    Unten rechts KachelX + 1 16940 KachelY + 1 49926 -2.32954157 0.68688372 -133.472900 39.355538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68692078-0.68688372) × R
    3.70600000000332e-05 × 6371000     		dl = 236.109260000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68692078-0.68688372) × R
    3.70600000000332e-05 × 6371000     		dr = 236.109260000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32958951--2.32954157) × cos(0.68692078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773202393603366 × 6371000     		do = 236.155913235924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32958951--2.32954157) × cos(0.68688372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773225895017234 × 6371000     		du = 236.163091172646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68692078)-sin(0.68688372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773202393603366-0.773225895017234)×R²
    abs(-2.32954157--2.32958951)×2.35014138684209e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35014138684209e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35014138684209e-05×40589641000000     		ar = 55759.4453138644m²