Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16938 / 17094
↖ ↑ ↗
← S  7.776309°
E  6.086426°		 ← 1 210.40 m → S  7.776309°
E  6.097412°		 →
↑
1 210.36 m
↓
↑
1 210.36 m
↓
S  7.787194°
E  6.086426°		 ← 1 210.37 m →
1 465 010 m²		 S  7.787194°
E  6.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516921997070312 y=0.521682739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516921997070312 × 215)
    floor (0.516921997070312 × 32768)
    floor (16938.5)     		tx = 16938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521682739257812 × 215)
    floor (0.521682739257812 × 32768)
    floor (17094.5)     		ty = 17094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16938 / 17094 ti = "15/16938/17094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16938/17094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16938 ÷ 215
    16938 ÷ 32768     		x = 0.51690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17094 ÷ 215
    17094 ÷ 32768     		y = 0.52166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51690673828125 × 2 - 1) × π
    0.0338134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10622817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.136140794920959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10622817} λ = 0.10622817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.136140794920959))-π/2
    2×atan(0.872719749330133)-π/2
    2×0.717537069878512-π/2
    1.43507413975702-1.57079632675     		φ = -0.13572219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10622817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13572219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.776309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16938 KachelY 17094 0.10622817 -0.13572219 6.086426 -7.776309
    Oben rechts KachelX + 1 16939 KachelY 17094 0.10641992 -0.13572219 6.097412 -7.776309
    Unten links KachelX 16938 KachelY + 1 17095 0.10622817 -0.13591217 6.086426 -7.787194
    Unten rechts KachelX + 1 16939 KachelY + 1 17095 0.10641992 -0.13591217 6.097412 -7.787194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13572219--0.13591217) × R
    0.000189980000000006 × 6371000     		dl = 1210.36258000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13572219--0.13591217) × R
    0.000189980000000006 × 6371000     		dr = 1210.36258000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10622817-0.10641992) × cos(-0.13572219) × R
    0.000191750000000004 × 0.990803873029848 × 6371000     		do = 1210.40490034531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10622817-0.10641992) × cos(-0.13591217) × R
    0.000191750000000004 × 0.990778149735848 × 6371000     		du = 1210.37347575972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13572219)-sin(-0.13591217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990803873029848-0.990778149735848)×R²
    abs(0.10641992-0.10622817)×2.57232939995244e-05×R²
    0.000191750000000004×2.57232939995244e-05×6371000²
    0.000191750000000004×2.57232939995244e-05×40589641000000     		ar = 1465009.78486172m²