Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16937 / 11243
↖ ↑ ↗
← N 49.073866°
E  6.075439°		 ← 800.28 m → N 49.073866°
E  6.086426°		 →
↑
800.33 m
↓
↑
800.33 m
↓
N 49.066669°
E  6.075439°		 ← 800.39 m →
640 529 m²		 N 49.066669°
E  6.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516891479492188 y=0.343124389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516891479492188 × 215)
    floor (0.516891479492188 × 32768)
    floor (16937.5)     		tx = 16937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343124389648438 × 215)
    floor (0.343124389648438 × 32768)
    floor (11243.5)     		ty = 11243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16937 / 11243 ti = "15/16937/11243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16937/11243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16937 ÷ 215
    16937 ÷ 32768     		x = 0.516876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11243 ÷ 215
    11243 ÷ 32768     		y = 0.343109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516876220703125 × 2 - 1) × π
    0.03375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10603642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343109130859375 × 2 - 1) × π
    0.31378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.985774403786835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10603642} λ = 0.10603642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985774403786835))-π/2
    2×atan(2.67988639523562)-π/2
    2×1.21364843171802-π/2
    2.42729686343604-1.57079632675     		φ = 0.85650054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10603642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.075439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85650054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.073866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16937 KachelY 11243 0.10603642 0.85650054 6.075439 49.073866
    Oben rechts KachelX + 1 16938 KachelY 11243 0.10622817 0.85650054 6.086426 49.073866
    Unten links KachelX 16937 KachelY + 1 11244 0.10603642 0.85637492 6.075439 49.066669
    Unten rechts KachelX + 1 16938 KachelY + 1 11244 0.10622817 0.85637492 6.086426 49.066669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85650054-0.85637492) × R
    0.000125619999999937 × 6371000     		dl = 800.325019999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85650054-0.85637492) × R
    0.000125619999999937 × 6371000     		dr = 800.325019999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10603642-0.10622817) × cos(0.85650054) × R
    0.000191749999999991 × 0.65508550754389 × 6371000     		do = 800.278168121748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10603642-0.10622817) × cos(0.85637492) × R
    0.000191749999999991 × 0.655180415162382 × 6371000     		du = 800.394110993622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85650054)-sin(0.85637492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65508550754389-0.655180415162382)×R²
    abs(0.10622817-0.10603642)×9.49076184918463e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49076184918463e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49076184918463e-05×40589641000000     		ar = 640529.037740539m²