Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16935 / 49559
↖ ↑ ↗
← N 40.130591°
W133.486633°		 ← 233.52 m → N 40.130591°
W133.483887°		 →
↑
233.50 m
↓
↑
233.50 m
↓
N 40.128491°
W133.486633°		 ← 233.53 m →
54 527 m²		 N 40.128491°
W133.483887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129207611083984 y=0.378108978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129207611083984 × 217)
    floor (0.129207611083984 × 131072)
    floor (16935.5)     		tx = 16935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378108978271484 × 217)
    floor (0.378108978271484 × 131072)
    floor (49559.5)     		ty = 49559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16935 / 49559 ti = "17/16935/49559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16935/49559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16935 ÷ 217
    16935 ÷ 131072     		x = 0.129203796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49559 ÷ 217
    49559 ÷ 131072     		y = 0.378105163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129203796386719 × 2 - 1) × π
    -0.741592407226562 × 3.1415926535     		Λ = -2.32978126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378105163574219 × 2 - 1) × π
    0.243789672851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.765887845229637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32978126} λ = -2.32978126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.765887845229637))-π/2
    2×atan(2.15090319630298)-π/2
    2×1.13560363580646-π/2
    2.27120727161291-1.57079632675     		φ = 0.70041094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32978126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.486633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70041094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.130591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16935 KachelY 49559 -2.32978126 0.70041094 -133.486633 40.130591
    Oben rechts KachelX + 1 16936 KachelY 49559 -2.32973332 0.70041094 -133.483887 40.130591
    Unten links KachelX 16935 KachelY + 1 49560 -2.32978126 0.70037429 -133.486633 40.128491
    Unten rechts KachelX + 1 16936 KachelY + 1 49560 -2.32973332 0.70037429 -133.483887 40.128491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70041094-0.70037429) × R
    3.66500000000824e-05 × 6371000     		dl = 233.497150000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70041094-0.70037429) × R
    3.66500000000824e-05 × 6371000     		dr = 233.497150000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32978126--2.32973332) × cos(0.70041094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.764577387895453 × 6371000     		do = 233.521614485083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32978126--2.32973332) × cos(0.70037429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.764601009477443 × 6371000     		du = 233.528829124242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70041094)-sin(0.70037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764577387895453-0.764601009477443)×R²
    abs(-2.32973332--2.32978126)×2.36215819900965e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36215819900965e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36215819900965e-05×40589641000000     		ar = 54527.4737508403m²