Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16935 / 11938
↖ ↑ ↗
← N 43.818675°
E  6.053467°		 ← 881.41 m → N 43.818675°
E  6.064453°		 →
↑
881.49 m
↓
↑
881.49 m
↓
N 43.810747°
E  6.053467°		 ← 881.53 m →
777 006 m²		 N 43.810747°
E  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516830444335938 y=0.364334106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516830444335938 × 215)
    floor (0.516830444335938 × 32768)
    floor (16935.5)     		tx = 16935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364334106445312 × 215)
    floor (0.364334106445312 × 32768)
    floor (11938.5)     		ty = 11938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16935 / 11938 ti = "15/16935/11938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16935/11938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16935 ÷ 215
    16935 ÷ 32768     		x = 0.516815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11938 ÷ 215
    11938 ÷ 32768     		y = 0.36431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516815185546875 × 2 - 1) × π
    0.03363037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10565293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36431884765625 × 2 - 1) × π
    0.2713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.852509822843079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10565293} λ = 0.10565293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852509822843079))-π/2
    2×atan(2.34552632617274)-π/2
    2×1.16778823843291-π/2
    2.33557647686582-1.57079632675     		φ = 0.76478015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10565293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76478015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.818675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16935 KachelY 11938 0.10565293 0.76478015 6.053467 43.818675
    Oben rechts KachelX + 1 16936 KachelY 11938 0.10584467 0.76478015 6.064453 43.818675
    Unten links KachelX 16935 KachelY + 1 11939 0.10565293 0.76464179 6.053467 43.810747
    Unten rechts KachelX + 1 16936 KachelY + 1 11939 0.10584467 0.76464179 6.064453 43.810747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76478015-0.76464179) × R
    0.000138360000000004 × 6371000     		dl = 881.491560000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76478015-0.76464179) × R
    0.000138360000000004 × 6371000     		dr = 881.491560000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10565293-0.10584467) × cos(0.76478015) × R
    0.000191739999999996 × 0.721534594260858 × 6371000     		do = 881.40901161287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10565293-0.10584467) × cos(0.76464179) × R
    0.000191739999999996 × 0.721630384827683 × 6371000     		du = 881.526027026266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76478015)-sin(0.76464179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721534594260858-0.721630384827683)×R²
    abs(0.10584467-0.10565293)×9.57905668248493e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57905668248493e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57905668248493e-05×40589641000000     		ar = 777006.179934031m²