Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16934 / 11726
↖ ↑ ↗
← N 45.475540°
E  6.042481°		 ← 856.63 m → N 45.475540°
E  6.053467°		 →
↑
856.71 m
↓
↑
856.71 m
↓
N 45.467836°
E  6.042481°		 ← 856.75 m →
733 932 m²		 N 45.467836°
E  6.053467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516799926757812 y=0.357864379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516799926757812 × 215)
    floor (0.516799926757812 × 32768)
    floor (16934.5)     		tx = 16934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357864379882812 × 215)
    floor (0.357864379882812 × 32768)
    floor (11726.5)     		ty = 11726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16934 / 11726 ti = "15/16934/11726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16934/11726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16934 ÷ 215
    16934 ÷ 32768     		x = 0.51678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11726 ÷ 215
    11726 ÷ 32768     		y = 0.35784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51678466796875 × 2 - 1) × π
    0.0335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10546118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35784912109375 × 2 - 1) × π
    0.2843017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.893160313720886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10546118} λ = 0.10546118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.893160313720886))-π/2
    2×atan(2.442837598289)-π/2
    2×1.18224711681972-π/2
    2.36449423363945-1.57079632675     		φ = 0.79369791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10546118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.042481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79369791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.475540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16934 KachelY 11726 0.10546118 0.79369791 6.042481 45.475540
    Oben rechts KachelX + 1 16935 KachelY 11726 0.10565293 0.79369791 6.053467 45.475540
    Unten links KachelX 16934 KachelY + 1 11727 0.10546118 0.79356344 6.042481 45.467836
    Unten rechts KachelX + 1 16935 KachelY + 1 11727 0.10565293 0.79356344 6.053467 45.467836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79369791-0.79356344) × R
    0.000134469999999998 × 6371000     		dl = 856.708369999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79369791-0.79356344) × R
    0.000134469999999998 × 6371000     		dr = 856.708369999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10546118-0.10565293) × cos(0.79369791) × R
    0.000191750000000004 × 0.701213686794987 × 6371000     		do = 856.630162425983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10546118-0.10565293) × cos(0.79356344) × R
    0.000191750000000004 × 0.701309550998287 × 6371000     		du = 856.747273899404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79369791)-sin(0.79356344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701213686794987-0.701309550998287)×R²
    abs(0.10565293-0.10546118)×9.5864203299767e-05×R²
    0.000191750000000004×9.5864203299767e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.5864203299767e-05×40589641000000     		ar = 733932.396440082m²