Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16934 / 11260
↖ ↑ ↗
← N 48.951367°
E  6.042481°		 ← 802.25 m → N 48.951367°
E  6.053467°		 →
↑
802.30 m
↓
↑
802.30 m
↓
N 48.944151°
E  6.042481°		 ← 802.37 m →
643 692 m²		 N 48.944151°
E  6.053467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516799926757812 y=0.343643188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516799926757812 × 215)
    floor (0.516799926757812 × 32768)
    floor (16934.5)     		tx = 16934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343643188476562 × 215)
    floor (0.343643188476562 × 32768)
    floor (11260.5)     		ty = 11260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16934 / 11260 ti = "15/16934/11260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16934/11260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16934 ÷ 215
    16934 ÷ 32768     		x = 0.51678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11260 ÷ 215
    11260 ÷ 32768     		y = 0.3436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51678466796875 × 2 - 1) × π
    0.0335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10546118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3436279296875 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.982514694612671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10546118} λ = 0.10546118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982514694612671))-π/2
    2×atan(2.67116496734921)-π/2
    2×1.21257942252242-π/2
    2.42515884504485-1.57079632675     		φ = 0.85436252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10546118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.042481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85436252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.951367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16934 KachelY 11260 0.10546118 0.85436252 6.042481 48.951367
    Oben rechts KachelX + 1 16935 KachelY 11260 0.10565293 0.85436252 6.053467 48.951367
    Unten links KachelX 16934 KachelY + 1 11261 0.10546118 0.85423659 6.042481 48.944151
    Unten rechts KachelX + 1 16935 KachelY + 1 11261 0.10565293 0.85423659 6.053467 48.944151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85436252-0.85423659) × R
    0.000125930000000052 × 6371000     		dl = 802.30003000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85436252-0.85423659) × R
    0.000125930000000052 × 6371000     		dr = 802.30003000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10546118-0.10565293) × cos(0.85436252) × R
    0.000191750000000004 × 0.656699400236557 × 6371000     		do = 802.249762780455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10546118-0.10565293) × cos(0.85423659) × R
    0.000191750000000004 × 0.656794365445566 × 6371000     		du = 802.365776007165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85436252)-sin(0.85423659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656699400236557-0.656794365445566)×R²
    abs(0.10565293-0.10546118)×9.49652090089792e-05×R²
    0.000191750000000004×9.49652090089792e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.49652090089792e-05×40589641000000     		ar = 643691.548304798m²