Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16933 / 49614
↖ ↑ ↗
← N 40.014994°
W133.492126°		 ← 233.87 m → N 40.014994°
W133.489380°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
N 40.012891°
W133.492126°		 ← 233.88 m →
54 698 m²		 N 40.012891°
W133.489380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129192352294922 y=0.378528594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129192352294922 × 217)
    floor (0.129192352294922 × 131072)
    floor (16933.5)     		tx = 16933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378528594970703 × 217)
    floor (0.378528594970703 × 131072)
    floor (49614.5)     		ty = 49614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16933 / 49614 ti = "17/16933/49614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16933/49614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16933 ÷ 217
    16933 ÷ 131072     		x = 0.129188537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49614 ÷ 217
    49614 ÷ 131072     		y = 0.378524780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129188537597656 × 2 - 1) × π
    -0.741622924804688 × 3.1415926535     		Λ = -2.32987713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378524780273438 × 2 - 1) × π
    0.242950439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.763251315750534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32987713} λ = -2.32987713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.763251315750534))-π/2
    2×atan(2.14523974582699)-π/2
    2×1.13459486420904-π/2
    2.26918972841808-1.57079632675     		φ = 0.69839340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32987713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.492126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69839340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.014994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16933 KachelY 49614 -2.32987713 0.69839340 -133.492126 40.014994
    Oben rechts KachelX + 1 16934 KachelY 49614 -2.32982920 0.69839340 -133.489380 40.014994
    Unten links KachelX 16933 KachelY + 1 49615 -2.32987713 0.69835669 -133.492126 40.012891
    Unten rechts KachelX + 1 16934 KachelY + 1 49615 -2.32982920 0.69835669 -133.489380 40.012891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69839340-0.69835669) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69839340-0.69835669) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32987713--2.32982920) × cos(0.69839340) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765876199884375 × 6371000     		do = 233.869511125522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32987713--2.32982920) × cos(0.69835669) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765899803460028 × 6371000     		du = 233.876718761298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69839340)-sin(0.69835669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765876199884375-0.765899803460028)×R²
    abs(-2.32982920--2.32987713)×2.36035756534525e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36035756534525e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36035756534525e-05×40589641000000     		ar = 54698.1061442069m²