Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16933 / 11239
↖ ↑ ↗
← N 49.102646°
E  6.031494°		 ← 799.81 m → N 49.102646°
E  6.042481°		 →
↑
799.88 m
↓
↑
799.88 m
↓
N 49.095452°
E  6.031494°		 ← 799.93 m →
639 801 m²		 N 49.095452°
E  6.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516769409179688 y=0.343002319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516769409179688 × 215)
    floor (0.516769409179688 × 32768)
    floor (16933.5)     		tx = 16933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343002319335938 × 215)
    floor (0.343002319335938 × 32768)
    floor (11239.5)     		ty = 11239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16933 / 11239 ti = "15/16933/11239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16933/11239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16933 ÷ 215
    16933 ÷ 32768     		x = 0.516754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11239 ÷ 215
    11239 ÷ 32768     		y = 0.342987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516754150390625 × 2 - 1) × π
    0.03350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10526943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342987060546875 × 2 - 1) × π
    0.31402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.986541394180756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10526943} λ = 0.10526943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986541394180756))-π/2
    2×atan(2.68194263081323)-π/2
    2×1.21389958107621-π/2
    2.42779916215242-1.57079632675     		φ = 0.85700284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10526943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.031494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85700284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.102646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16933 KachelY 11239 0.10526943 0.85700284 6.031494 49.102646
    Oben rechts KachelX + 1 16934 KachelY 11239 0.10546118 0.85700284 6.042481 49.102646
    Unten links KachelX 16933 KachelY + 1 11240 0.10526943 0.85687729 6.031494 49.095452
    Unten rechts KachelX + 1 16934 KachelY + 1 11240 0.10546118 0.85687729 6.042481 49.095452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85700284-0.85687729) × R
    0.00012555000000003 × 6371000     		dl = 799.87905000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85700284-0.85687729) × R
    0.00012555000000003 × 6371000     		dr = 799.87905000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10526943-0.10546118) × cos(0.85700284) × R
    0.000191750000000004 × 0.654705909768968 × 6371000     		do = 799.814436580748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10526943-0.10546118) × cos(0.85687729) × R
    0.000191750000000004 × 0.654800805807568 × 6371000     		du = 799.930365306172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85700284)-sin(0.85687729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654705909768968-0.654800805807568)×R²
    abs(0.10546118-0.10526943)×9.48960386003561e-05×R²
    0.000191750000000004×9.48960386003561e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.48960386003561e-05×40589641000000     		ar = 639801.177028052m²