Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16932 / 17188
↖ ↑ ↗
← S  8.798225°
E  6.020508°		 ← 1 207.26 m → S  8.798225°
E  6.031494°		 →
↑
1 207.24 m
↓
↑
1 207.24 m
↓
S  8.809082°
E  6.020508°		 ← 1 207.23 m →
1 457 437 m²		 S  8.809082°
E  6.031494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516738891601562 y=0.524551391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516738891601562 × 215)
    floor (0.516738891601562 × 32768)
    floor (16932.5)     		tx = 16932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524551391601562 × 215)
    floor (0.524551391601562 × 32768)
    floor (17188.5)     		ty = 17188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16932 / 17188 ti = "15/16932/17188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16932/17188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16932 ÷ 215
    16932 ÷ 32768     		x = 0.5167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17188 ÷ 215
    17188 ÷ 32768     		y = 0.5245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5167236328125 × 2 - 1) × π
    0.033447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10507768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.154165069178101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10507768} λ = 0.10507768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154165069178101))-π/2
    2×atan(0.857130523502301)-π/2
    2×0.708619162103313-π/2
    1.41723832420663-1.57079632675     		φ = -0.15355800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10507768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15355800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.798225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16932 KachelY 17188 0.10507768 -0.15355800 6.020508 -8.798225
    Oben rechts KachelX + 1 16933 KachelY 17188 0.10526943 -0.15355800 6.031494 -8.798225
    Unten links KachelX 16932 KachelY + 1 17189 0.10507768 -0.15374749 6.020508 -8.809082
    Unten rechts KachelX + 1 16933 KachelY + 1 17189 0.10526943 -0.15374749 6.031494 -8.809082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15355800--0.15374749) × R
    0.000189489999999987 × 6371000     		dl = 1207.24078999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15355800--0.15374749) × R
    0.000189489999999987 × 6371000     		dr = 1207.24078999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10507768-0.10526943) × cos(-0.15355800) × R
    0.000191749999999991 × 0.988233119582641 × 6371000     		do = 1207.26436703204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10507768-0.10526943) × cos(-0.15374749) × R
    0.000191749999999991 × 0.98820411835494 × 6371000     		du = 1207.22893799398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15355800)-sin(-0.15374749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988233119582641-0.98820411835494)×R²
    abs(0.10526943-0.10507768)×2.90012277012197e-05×R²
    0.000191749999999991×2.90012277012197e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.90012277012197e-05×40589641000000     		ar = 1457437.40686559m²