Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16931 / 17343
↖ ↑ ↗
← S 10.477009°
E  6.009522°		 ← 1 201.21 m → S 10.477009°
E  6.020508°		 →
↑
1 201.25 m
↓
↑
1 201.25 m
↓
S 10.487812°
E  6.009522°		 ← 1 201.17 m →
1 442 930 m²		 S 10.487812°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516708374023438 y=0.529281616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516708374023438 × 215)
    floor (0.516708374023438 × 32768)
    floor (16931.5)     		tx = 16931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529281616210938 × 215)
    floor (0.529281616210938 × 32768)
    floor (17343.5)     		ty = 17343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16931 / 17343 ti = "15/16931/17343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16931/17343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16931 ÷ 215
    16931 ÷ 32768     		x = 0.516693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17343 ÷ 215
    17343 ÷ 32768     		y = 0.529266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516693115234375 × 2 - 1) × π
    0.03338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10488594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.05853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.183885946942535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10488594} λ = 0.10488594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183885946942535))-π/2
    2×atan(0.83203069405987)-π/2
    2×0.693969012806941-π/2
    1.38793802561388-1.57079632675     		φ = -0.18285830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10488594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18285830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.477009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16931 KachelY 17343 0.10488594 -0.18285830 6.009522 -10.477009
    Oben rechts KachelX + 1 16932 KachelY 17343 0.10507768 -0.18285830 6.020508 -10.477009
    Unten links KachelX 16931 KachelY + 1 17344 0.10488594 -0.18304685 6.009522 -10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 16932 KachelY + 1 17344 0.10507768 -0.18304685 6.020508 -10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18285830--0.18304685) × R
    0.00018855000000001 × 6371000     		dl = 1201.25205000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18285830--0.18304685) × R
    0.00018855000000001 × 6371000     		dr = 1201.25205000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(-0.18285830) × R
    0.00019174000000001 × 0.983327954316008 × 6371000     		do = 1201.20937679073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(-0.18304685) × R
    0.00019174000000001 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 1201.16747236211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18285830)-sin(-0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983327954316008-0.983293650724252)×R²
    abs(0.10507768-0.10488594)×3.43035917560464e-05×R²
    0.00019174000000001×3.43035917560464e-05×6371000²
    0.00019174000000001×3.43035917560464e-05×40589641000000     		ar = 1442930.06173344m²