Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16931 / 17229
↖ ↑ ↗
← S  9.243093°
E  6.009522°		 ← 1 205.71 m → S  9.243093°
E  6.020508°		 →
↑
1 205.71 m
↓
↑
1 205.71 m
↓
S  9.253936°
E  6.009522°		 ← 1 205.68 m →
1 453 721 m²		 S  9.253936°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516708374023438 y=0.525802612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516708374023438 × 215)
    floor (0.516708374023438 × 32768)
    floor (16931.5)     		tx = 16931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525802612304688 × 215)
    floor (0.525802612304688 × 32768)
    floor (17229.5)     		ty = 17229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16931 / 17229 ti = "15/16931/17229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16931/17229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16931 ÷ 215
    16931 ÷ 32768     		x = 0.516693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17229 ÷ 215
    17229 ÷ 32768     		y = 0.525787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516693115234375 × 2 - 1) × π
    0.03338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10488594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.05157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.16202672071579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10488594} λ = 0.10488594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16202672071579))-π/2
    2×atan(0.850418480446114)-π/2
    2×0.704736963537758-π/2
    1.40947392707552-1.57079632675     		φ = -0.16132240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10488594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16132240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.243093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16931 KachelY 17229 0.10488594 -0.16132240 6.009522 -9.243093
    Oben rechts KachelX + 1 16932 KachelY 17229 0.10507768 -0.16132240 6.020508 -9.243093
    Unten links KachelX 16931 KachelY + 1 17230 0.10488594 -0.16151165 6.009522 -9.253936
    Unten rechts KachelX + 1 16932 KachelY + 1 17230 0.10507768 -0.16151165 6.020508 -9.253936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16132240--0.16151165) × R
    0.000189250000000002 × 6371000     		dl = 1205.71175000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16132240--0.16151165) × R
    0.000189250000000002 × 6371000     		dr = 1205.71175000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(-0.16132240) × R
    0.00019174000000001 × 0.987015737837942 × 6371000     		do = 1205.71428293794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(-0.16151165) × R
    0.00019174000000001 × 0.986985322151049 × 6371000     		du = 1205.6771278788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16132240)-sin(-0.16151165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987015737837942-0.986985322151049)×R²
    abs(0.10507768-0.10488594)×3.04156868933259e-05×R²
    0.00019174000000001×3.04156868933259e-05×6371000²
    0.00019174000000001×3.04156868933259e-05×40589641000000     		ar = 1453721.48327425m²