Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16931 / 17187
↖ ↑ ↗
← S  8.787368°
E  6.009522°		 ← 1 207.24 m → S  8.787368°
E  6.020508°		 →
↑
1 207.24 m
↓
↑
1 207.24 m
↓
S  8.798225°
E  6.009522°		 ← 1 207.20 m →
1 457 404 m²		 S  8.798225°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516708374023438 y=0.524520874023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516708374023438 × 215)
    floor (0.516708374023438 × 32768)
    floor (16931.5)     		tx = 16931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524520874023438 × 215)
    floor (0.524520874023438 × 32768)
    floor (17187.5)     		ty = 17187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16931 / 17187 ti = "15/16931/17187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16931/17187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16931 ÷ 215
    16931 ÷ 32768     		x = 0.516693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17187 ÷ 215
    17187 ÷ 32768     		y = 0.524505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516693115234375 × 2 - 1) × π
    0.03338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10488594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.04901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.15397332157962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10488594} λ = 0.10488594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15397332157962))-π/2
    2×atan(0.857294891979893)-π/2
    2×0.708713909155819-π/2
    1.41742781831164-1.57079632675     		φ = -0.15336851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10488594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15336851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.787368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16931 KachelY 17187 0.10488594 -0.15336851 6.009522 -8.787368
    Oben rechts KachelX + 1 16932 KachelY 17187 0.10507768 -0.15336851 6.020508 -8.787368
    Unten links KachelX 16931 KachelY + 1 17188 0.10488594 -0.15355800 6.009522 -8.798225
    Unten rechts KachelX + 1 16932 KachelY + 1 17188 0.10507768 -0.15355800 6.020508 -8.798225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15336851--0.15355800) × R
    0.000189489999999987 × 6371000     		dl = 1207.24078999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15336851--0.15355800) × R
    0.000189489999999987 × 6371000     		dr = 1207.24078999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(-0.15336851) × R
    0.00019174000000001 × 0.98826208532639 × 6371000     		do = 1207.23679054417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(-0.15355800) × R
    0.00019174000000001 × 0.988233119582641 × 6371000     		du = 1207.20140670011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15336851)-sin(-0.15355800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98826208532639-0.988233119582641)×R²
    abs(0.10507768-0.10488594)×2.89657437482216e-05×R²
    0.00019174000000001×2.89657437482216e-05×6371000²
    0.00019174000000001×2.89657437482216e-05×40589641000000     		ar = 1457404.14268436m²