Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16931 / 11734
↖ ↑ ↗
← N 45.413876°
E  6.009522°		 ← 857.52 m → N 45.413876°
E  6.020508°		 →
↑
857.60 m
↓
↑
857.60 m
↓
N 45.406164°
E  6.009522°		 ← 857.64 m →
735 462 m²		 N 45.406164°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516708374023438 y=0.358108520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516708374023438 × 215)
    floor (0.516708374023438 × 32768)
    floor (16931.5)     		tx = 16931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358108520507812 × 215)
    floor (0.358108520507812 × 32768)
    floor (11734.5)     		ty = 11734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16931 / 11734 ti = "15/16931/11734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16931/11734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16931 ÷ 215
    16931 ÷ 32768     		x = 0.516693115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11734 ÷ 215
    11734 ÷ 32768     		y = 0.35809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516693115234375 × 2 - 1) × π
    0.03338623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10488594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35809326171875 × 2 - 1) × π
    0.2838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.891626332933044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10488594} λ = 0.10488594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891626332933044))-π/2
    2×atan(2.43909320499334)-π/2
    2×1.18170899855614-π/2
    2.36341799711228-1.57079632675     		φ = 0.79262167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10488594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.009522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79262167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.413876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16931 KachelY 11734 0.10488594 0.79262167 6.009522 45.413876
    Oben rechts KachelX + 1 16932 KachelY 11734 0.10507768 0.79262167 6.020508 45.413876
    Unten links KachelX 16931 KachelY + 1 11735 0.10488594 0.79248706 6.009522 45.406164
    Unten rechts KachelX + 1 16932 KachelY + 1 11735 0.10507768 0.79248706 6.020508 45.406164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79262167-0.79248706) × R
    0.000134609999999924 × 6371000     		dl = 857.600309999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79262167-0.79248706) × R
    0.000134609999999924 × 6371000     		dr = 857.600309999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(0.79262167) × R
    0.00019174000000001 × 0.701980587104769 × 6371000     		do = 857.522314762069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10488594-0.10507768) × cos(0.79248706) × R
    0.00019174000000001 × 0.702076449458818 × 6371000     		du = 857.639417868981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79262167)-sin(0.79248706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701980587104769-0.702076449458818)×R²
    abs(0.10507768-0.10488594)×9.58623540487924e-05×R²
    0.00019174000000001×9.58623540487924e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.58623540487924e-05×40589641000000     		ar = 735461.617912669m²