Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16930 / 49638
↖ ↑ ↗
← N 39.964491°
W133.500366°		 ← 234.04 m → N 39.964491°
W133.497620°		 →
↑
234.13 m
↓
↑
234.13 m
↓
N 39.962385°
W133.500366°		 ← 234.05 m →
54 798 m²		 N 39.962385°
W133.497620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129169464111328 y=0.378711700439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129169464111328 × 217)
    floor (0.129169464111328 × 131072)
    floor (16930.5)     		tx = 16930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378711700439453 × 217)
    floor (0.378711700439453 × 131072)
    floor (49638.5)     		ty = 49638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16930 / 49638 ti = "17/16930/49638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16930/49638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16930 ÷ 217
    16930 ÷ 131072     		x = 0.129165649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49638 ÷ 217
    49638 ÷ 131072     		y = 0.378707885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129165649414062 × 2 - 1) × π
    -0.741668701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33002094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378707885742188 × 2 - 1) × π
    0.242584228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.762100830159653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33002094} λ = -2.33002094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762100830159653))-π/2
    2×atan(2.14277309760412)-π/2
    2×1.13415413650676-π/2
    2.26830827301353-1.57079632675     		φ = 0.69751195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33002094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.500366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69751195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.964491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16930 KachelY 49638 -2.33002094 0.69751195 -133.500366 39.964491
    Oben rechts KachelX + 1 16931 KachelY 49638 -2.32997301 0.69751195 -133.497620 39.964491
    Unten links KachelX 16930 KachelY + 1 49639 -2.33002094 0.69747520 -133.500366 39.962385
    Unten rechts KachelX + 1 16931 KachelY + 1 49639 -2.32997301 0.69747520 -133.497620 39.962385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69751195-0.69747520) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dl = 234.13425000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69751195-0.69747520) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dr = 234.13425000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33002094--2.32997301) × cos(0.69751195) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766442664111949 × 6371000     		do = 234.042487791976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33002094--2.32997301) × cos(0.69747520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766466268587193 × 6371000     		du = 234.049695702454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69751195)-sin(0.69747520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766442664111949-0.766466268587193)×R²
    abs(-2.32997301--2.33002094)×2.36044752438547e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36044752438547e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36044752438547e-05×40589641000000     		ar = 54798.206162701m²