Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16930 / 17220
↖ ↑ ↗
← S  9.145486°
E  5.998535°		 ← 1 206.11 m → S  9.145486°
E  6.009522°		 →
↑
1 206.09 m
↓
↑
1 206.09 m
↓
S  9.156333°
E  5.998535°		 ← 1 206.07 m →
1 454 660 m²		 S  9.156333°
E  6.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516677856445312 y=0.525527954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516677856445312 × 215)
    floor (0.516677856445312 × 32768)
    floor (16930.5)     		tx = 16930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525527954101562 × 215)
    floor (0.525527954101562 × 32768)
    floor (17220.5)     		ty = 17220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16930 / 17220 ti = "15/16930/17220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16930/17220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16930 ÷ 215
    16930 ÷ 32768     		x = 0.51666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17220 ÷ 215
    17220 ÷ 32768     		y = 0.5255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51666259765625 × 2 - 1) × π
    0.0333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10469419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.160300992329468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10469419} λ = 0.10469419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160300992329468))-π/2
    2×atan(0.851887338818829)-π/2
    2×0.705588741712035-π/2
    1.41117748342407-1.57079632675     		φ = -0.15961884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10469419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15961884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.145486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16930 KachelY 17220 0.10469419 -0.15961884 5.998535 -9.145486
    Oben rechts KachelX + 1 16931 KachelY 17220 0.10488594 -0.15961884 6.009522 -9.145486
    Unten links KachelX 16930 KachelY + 1 17221 0.10469419 -0.15980815 5.998535 -9.156333
    Unten rechts KachelX + 1 16931 KachelY + 1 17221 0.10488594 -0.15980815 6.009522 -9.156333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15961884--0.15980815) × R
    0.000189309999999998 × 6371000     		dl = 1206.09400999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15961884--0.15980815) × R
    0.000189309999999998 × 6371000     		dr = 1206.09400999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10469419-0.10488594) × cos(-0.15961884) × R
    0.000191749999999991 × 0.987287937388147 × 6371000     		do = 1206.10969536484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10469419-0.10488594) × cos(-0.15980815) × R
    0.000191749999999991 × 0.987257830405226 × 6371000     		du = 1206.07291549281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15961884)-sin(-0.15980815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987287937388147-0.987257830405226)×R²
    abs(0.10488594-0.10469419)×3.0106982920497e-05×R²
    0.000191749999999991×3.0106982920497e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.0106982920497e-05×40589641000000     		ar = 1454659.50333507m²