Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16930 / 11734
↖ ↑ ↗
← N 45.413876°
E  5.998535°		 ← 857.57 m → N 45.413876°
E  6.009522°		 →
↑
857.60 m
↓
↑
857.60 m
↓
N 45.406164°
E  5.998535°		 ← 857.68 m →
735 500 m²		 N 45.406164°
E  6.009522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516677856445312 y=0.358108520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516677856445312 × 215)
    floor (0.516677856445312 × 32768)
    floor (16930.5)     		tx = 16930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358108520507812 × 215)
    floor (0.358108520507812 × 32768)
    floor (11734.5)     		ty = 11734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16930 / 11734 ti = "15/16930/11734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16930/11734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16930 ÷ 215
    16930 ÷ 32768     		x = 0.51666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11734 ÷ 215
    11734 ÷ 32768     		y = 0.35809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51666259765625 × 2 - 1) × π
    0.0333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10469419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35809326171875 × 2 - 1) × π
    0.2838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.891626332933044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10469419} λ = 0.10469419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891626332933044))-π/2
    2×atan(2.43909320499334)-π/2
    2×1.18170899855614-π/2
    2.36341799711228-1.57079632675     		φ = 0.79262167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10469419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79262167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.413876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16930 KachelY 11734 0.10469419 0.79262167 5.998535 45.413876
    Oben rechts KachelX + 1 16931 KachelY 11734 0.10488594 0.79262167 6.009522 45.413876
    Unten links KachelX 16930 KachelY + 1 11735 0.10469419 0.79248706 5.998535 45.406164
    Unten rechts KachelX + 1 16931 KachelY + 1 11735 0.10488594 0.79248706 6.009522 45.406164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79262167-0.79248706) × R
    0.000134609999999924 × 6371000     		dl = 857.600309999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79262167-0.79248706) × R
    0.000134609999999924 × 6371000     		dr = 857.600309999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10469419-0.10488594) × cos(0.79262167) × R
    0.000191749999999991 × 0.701980587104769 × 6371000     		do = 857.567037945187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10469419-0.10488594) × cos(0.79248706) × R
    0.000191749999999991 × 0.702076449458818 × 6371000     		du = 857.684147159491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79262167)-sin(0.79248706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701980587104769-0.702076449458818)×R²
    abs(0.10488594-0.10469419)×9.58623540487924e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58623540487924e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58623540487924e-05×40589641000000     		ar = 735499.975147283m²