Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1693 / 465
↖ ↑ ↗
← N 79.920548°
W 31.201172°		 ← 1 710.41 m → N 79.920548°
W 31.113281°		 →
↑
1 711.70 m
↓
↑
1 711.70 m
↓
N 79.905154°
W 31.201172°		 ← 1 712.99 m →
2 929 909 m²		 N 79.905154°
W 31.113281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4134521484375 y=0.1136474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4134521484375 × 212)
    floor (0.4134521484375 × 4096)
    floor (1693.5)     		tx = 1693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1136474609375 × 212)
    floor (0.1136474609375 × 4096)
    floor (465.5)     		ty = 465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1693 / 465 ti = "12/1693/465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1693/465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1693 ÷ 212
    1693 ÷ 4096     		x = 0.413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 465 ÷ 212
    465 ÷ 4096     		y = 0.113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.17333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54456318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113525390625 × 2 - 1) × π
    0.77294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42829158715356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54456318} λ = -0.54456318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42829158715356))-π/2
    2×atan(11.3394929869385)-π/2
    2×1.48283651292501-π/2
    2.96567302585002-1.57079632675     		φ = 1.39487670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54456318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.201172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39487670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.920548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1693 KachelY 465 -0.54456318 1.39487670 -31.201172 79.920548
    Oben rechts KachelX + 1 1694 KachelY 465 -0.54302920 1.39487670 -31.113281 79.920548
    Unten links KachelX 1693 KachelY + 1 466 -0.54456318 1.39460803 -31.201172 79.905154
    Unten rechts KachelX + 1 1694 KachelY + 1 466 -0.54302920 1.39460803 -31.113281 79.905154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39487670-1.39460803) × R
    0.00026866999999986 × 6371000     		dl = 1711.69656999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39487670-1.39460803) × R
    0.00026866999999986 × 6371000     		dr = 1711.69656999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54456318--0.54302920) × cos(1.39487670) × R
    0.00153398000000005 × 0.175013644753984 × 6371000     		do = 1710.40600149763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54456318--0.54302920) × cos(1.39460803) × R
    0.00153398000000005 × 0.175278161783622 × 6371000     		du = 1712.99112287846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39487670)-sin(1.39460803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175013644753984-0.175278161783622)×R²
    abs(-0.54302920--0.54456318)×0.000264517029637729×R²
    0.00153398000000005×0.000264517029637729×6371000²
    0.00153398000000005×0.000264517029637729×40589641000000     		ar = 2929908.5753943m²